Вариант 4

1. Найти и изобразить на чертеже область определения функций

а)z = ln(4-x²-y²); б) z = y + arcsin(x+2).

2. Вычислить приближенно cos59°sin32°.

3. Найти частные производные и полный дифференциал функции z=arccos(x-y²).

4. Вычислить значение производной сложной функции u=e^y-2x+2, где,y=costприt=, с точностью до двух знаков после запятой.

5. Вычислить значения частных производных функции z=z(x,y) , заданной неявно:e^z+x+2y+z= 4, в данной точкеM₀(1,1,0) с точностью до двух знаков после запятой

6. Проверить, удовлетворяет ли данная функция u=x^yуказанному уравнению.

7. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности Sв точкеM₀(x₀,y₀,z₀). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.

а) S: x²+y²+z²+6z+4x = 8, M₀(-1,1,2);

б) S:x²-y+z²-6 = 0,M₀(1,-1,2).

8. Определить градиент и производную заданной функции z=arcsin() в т.M₀(5,5) в направлении линииy²= 5xв сторону убывания аргументаx.

9. Исследовать на экстремум функцию z= 1+6x-x²-xy-y².

10. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z= 5x²+y²-3xyв области

D: y= 0,y= 1,x= 0,x= 1.

Вариант 5

1. Найти и изобразить на чертеже область определения функций

а)z=; б)z=+ln(4-x²-y²).

2. Вычислить приближенно arсtg .

3. Найти частные производные и полный дифференциал функции z=cos(x³-2xy)

4. Вычислить значение производной сложной функции u=x²e^y, гдеx=cost,y=sint, приt= π, с точностью до двух знаков после запятой.

5. Вычислить значения частных производных функции z=z(x,y) , заданной неявно:x²+y²+z²-z-4 = 0, в данной точкеM₀(1,1,-1) с точностью до двух знаков после запятой.

6. Проверить, удовлетворяет ли данная функция u=xy/(x+y) указанному уравнению.

7. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности Sв точкеM₀(x₀,y₀,z₀). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.

а) S:2x²-y²+z²-4x+y = 13, M₀(2,1,-1);

б) S: 25y²-4x²-4z²-5 = 0, M₀(1,1,2).

8. Определить градиент и производную заданной функции z=xe^y в т.M₀(1,4) в направлении линииxy= 4 в сторону убывания аргументаx.

9. Исследовать на экстремум функциюz=x³+y²-6xy-39x+18y+20.

10. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z=x²+2xy-y²-4xв области

D:x-y+1 = 0,y= 0,x= 3.

Вариант 6

1. Найти и изобразить на чертеже область определения функций

а) z=;б)z= (4-x²-y²)+–.

2. Вычислить приближенно (2,05)²/((2,05)²+(3,01)²).

3. Найти частные производные и полный дифференциал функции z=.

4. Вычислить значение производной сложной функции u=ln(e^x+e^y) гдеx=t²,y=t³приt= 1, с точностью до двух знаков после запятой.

5. Вычислить значения частных производных функции z=z(x,y) , заданной неявно:z³+3xyz+3y=z, в данной точкеM₀(1,1,1) с точностью до двух знаков после запятой.

6. Проверить, удовлетворяет ли данная функция u=e^xyуказанному уравнению.

7. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности Sв точкеM₀(x₀,y₀,z₀). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.

а) S: x²+y²+z²-6y+4z+4 = 0, M₀(2,1,-1);

б) S: x²+z²-5y² = 0, M₀(-1,1,3).

8. Определить градиент и производную заданной функции z=x²+y²+xyв т.M₀(3,1) в направлении линии 4x-3y-9 = 0 в сторону возрастания аргументаx.

9. Исследовать на экстремум функцию z= 2x³+2y³-6xy+5.

10. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z=x²+y²-2x-2y+8 в области

D:y+x-1 = 0,y= 0,x= 0.