Вариант 4

1. Найти и изобразить на чертеже область определения функций

а)z = ln(4-x²-y²); б) z = y + arcsin(x+2).

2. Вычислить приближенно cos59°sin32°.

3. Найти частные производные и полный дифференциал функции z = arccos(x-y²).

4. Вычислить значение производной сложной функции u = e^y-2x+2, где , y = cost при t = , с точностью до двух знаков после запятой.

5. Вычислить значения частных производных функции z = z(x,y) , заданной неявно: e^z+x+2y+z = 4, в данной точке M₀ (1,1,0) с точностью до двух знаков после запятой

6. Проверить, удовлетворяет ли данная функция u = x^y указанному уравнению .

7. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности s в точке m0 (x0,y0,z0). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.

а) S: x²+y²+z²+6z+4x = 8, M₀(-1,1,2);

б) S: x²-y+z²-6 = 0, M₀(1,-1,2).

8. Определить градиент и производную заданной функции z = arcsin( ) в т. M₀(5,5) в направлении линии y² = 5x в сторону убывания аргумента x.

9. Исследовать на экстремум функцию z = 1+6x-x²-xy-y².

10. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = 5x²+y²-3xy в области

D: y = 0,y = 1, x = 0,x = 1.

Вариант 5

1. Найти и изобразить на чертеже область определения функций

а)z = ; б) z = + ln(4-x²-y²).

2. Вычислить приближенно arсtg .

3. Найти частные производные и полный дифференциал функции z = cos(x³-2xy)

4. Вычислить значение производной сложной функции u = x²e^y, где x = cost, y = sint, при t = π, с точностью до двух знаков после запятой.

5. Вычислить значения частных производных функции z = z(x,y) , заданной неявно: x²+y²+z²-z-4 = 0, в данной точке M₀ (1,1,-1) с точностью до двух знаков после запятой.

6. Проверить, удовлетворяет ли данная функция u = xy/(x+y) указанному уравнению .

7. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности s в точке m0 (x0,y0,z0). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.

а) S:2x²-y²+z²-4x+y = 13, M₀(2,1,-1);

б) S: 25y²-4x²-4z²-5 = 0, M₀(1,1,2).

8. Определить градиент и производную заданной функции z = xe^y в т. M₀(1,4) в направлении линии xy = 4 в сторону убывания аргумента x.

9. Исследовать на экстремум функциюz = x³+y²-6xy-39x+18y+20.

10. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = x²+2xy-y²-4x в области

D: x-y+1 = 0,y = 0, x = 3.

Вариант 6

1. Найти и изобразить на чертеже область определения функций

а) z = ; б) z = (4-x²-y²)+ – .

2. Вычислить приближенно (2,05)²/((2,05)²+(3,01)²).

3. Найти частные производные и полный дифференциал функции z = .

4. Вычислить значение производной сложной функции u = ln(e^x+e^y) где x = t², y = t³ при t = 1, с точностью до двух знаков после запятой.

5. Вычислить значения частных производных функции z = z(x,y) , заданной неявно: z³+3xyz+3y = z, в данной точке M₀ (1,1,1) с точностью до двух знаков после запятой.

6. Проверить, удовлетворяет ли данная функция u = e^xy указанному уравнению .

7. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности s в точке m0 (x0,y0,z0). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.

а) S: x²+y²+z²-6y+4z+4 = 0, M₀(2,1,-1);

б) S: x²+z²-5y² = 0, M₀(-1,1,3).

8. Определить градиент и производную заданной функции z = x²+y²+xy в т. M₀(3,1) в направлении линии 4x-3y-9 = 0 в сторону возрастания аргумента x.

9. Исследовать на экстремум функцию z = 2x³+2y³-6xy+5.

10. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = x²+y²-2x-2y+8 в области

D: y+x-1 = 0,y = 0, x = 0.