Вариант 10

1. Найти и изобразить на чертеже область определения функций

а)z = ; б)z = arcsin+ arcsin(1-y).

2. Вычислить приближенно .

3. Найти частные производные и полный дифференциал функции z=ln(-1).

4. Вычислить значение производной сложной функции u=ln(e^-x+e^y), гдеx=t²,y=t³приt= -1, с точностью до двух знаков после запятой.

5. Вычислить значения частных производных функции z=z(x,y) , заданной неявно:xy=z²-1, в данной точкеM₀(0,1,-1) с точностью до двух знаков после запятой

6. Проверить, удовлетворяет ли данная функция u=e^{- cos(x+ay)}указанному уравнению.

7. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности Sв точкеM₀(x₀,y₀,z₀). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.

а) S: x²+y^{2 _} z²-2xy+2x = z, M₀(1,1,1);

б) S: 3x²-11y²+3z²+5 = 0,M₀(1,1,1).

8. Определить градиент и производную заданной функции z=x²+y²в т.M₀(6,8) в направлении линииx²+y²= 100 в сторону возрастания аргументаx.

9. Исследовать на экстремум функцию z= 6(x-y)-3x²-3y².

10. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z=x²+2xy-10 в области

D: y= 0,y=x²-4.

Вариант 11

1. Найти и изобразить на чертеже область определения функций

а)z=ln(y²-x²);б)z=.

2. Вычислить приближенно (3,02)³.

3. Найти частные производные и полный дифференциал функции z=tg(y⁴x³).

4. Вычислить значение производной сложной функции u=e^y-2x-1, гдеx=cost,y=sintприt=, с точностью до двух знаков после запятой.

5. Вычислить значения частных производных функции z=z(x,y) , заданной неявно:x²-2y²+3z²-yz+y= 2, в данной точкеM₀(1,1,1) с точностью до двух знаков после запятой.

6. Проверить, удовлетворяет ли данная функция u=e^xyуказанному уравнению.

7. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности Sв точкеM₀(x₀,y₀,z₀). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.

а) S:z = x²+y²+2x-2xy-y, M₀(-1,-1,-1);

б) S:x²+y²+2z²= 10,M₀(1,1,2).

8. Определить градиент и производную заданной функции в т.M₀() в направлении линииx²+y²= 2xв сторону убывания аргументаx.

9. Исследовать на экстремум функцию z=x²+xy+y²-6x-9y.

10. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z=xy-2x-yв области

D: y= 0,y= 4,x= 0,x= 3.

Вариант 12

1. Найти и изобразить на чертеже область определения функций

а)z = ln(9-x²-y²); б) z = arcsin(x+y).

2. Вычислить приближенно ln(–).

3. Найти частные производные и полный дифференциал функции z= 2xy+.

4. Вычислить значение производной сложной функции u=arcsin, гдеx=sint,y=costприt= π, с точностью до двух знаков после запятой.

5. Вычислить значения частных производных функции z=z(x,y) , заданной неявно:x²+y²+z²+2xz= 5, в данной точкеM₀(0,2,1) с точностью до двух знаков после запятой.

6. Проверить, удовлетворяет ли данная функция arctgуказанному уравнению.

7. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности Sв точкеM₀(x₀,y₀,z₀). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.

а) S: z = y²-x²+2xy-3y, M₀(1,-1,1);

б) S: x²+y²-4z² = 1, M₀(1,2,-1).

8. Определить градиент и производную заданной функции z=arctg(xy) в т.M₀(1,-1) в направлении линииy= -xв сторону возрастания аргументаx.

9. Исследовать на экстремум функцию z= (x-2)²+2y²-10.

10. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z= 0,5x²-xyв области

D:y= 8, y= 2x².