- •Федеральное агентство по образованию
- •Вариант 1
- •Вариант 2
- •Вариант 3
- •Вариант 4
- •Вариант 5
- •Вариант 6
- •Вариант 7
- •Вариант 8
- •Вариант 9
- •Вариант 10
- •Вариант 11
- •Вариант 12
- •Вариант 13
- •Вариант 14
- •Вариант 15
- •Вариант 16
- •Вариант 17
- •Вариант 18
- •Вариант 19
- •Вариант 20
- •Вариант 21
- •Вариант 22
- •Вариант 23
- •Вариант 24
- •Вариант 25
- •Вариант 26
- •Вариант 27
- •Вариант 28
- •Вариант 29
- •Вариант 30
Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
ПЕРМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
Операционное исчисление
Индивидуальные задания
-
Пособие разработано доцентом Цыловой Е. Г., доцентом Кротовой Е. Л..
Одобрено методической комиссией кафедры «Высшая математика»
© 2007, каф. «Высшая математика» ПГТУ
Пермь 2007
Контрольная работа по операционному исчислению
Список литературы.
Араманович И.Г., Лунц Г.А., Эльсгольц Л.Э. Функции комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория устойчивости.-М.,1965, ч.2,гл.7 - 287 с.
Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление: Учеб. пособие: в 2-х т.- Изд. стер. –М.: Интеграл – Пресс. Т.1. -2001.- 415 с. Т.2.- 2002.- 544 с.
Решение типового варианта.
Контрольная работа
Вариант 0.
Задача 1.Является ли оригиналом функция?
Решение: Данная функция не является оригиналом, так как неравенствоне может выполняться ни при какихsдля всехt>0, так как. , что для любогоsвыполнено неравенство, начиная с некоторого значенияt.
Задача 2. Найти изображения оригинала:
Решение:По таблице изображений найдем:
.
Задача 3. Найти оригиналы, соответствующие изображению:
Решение: Преобразуемтаким образом, чтобы можно было воспользоваться таблицей изображений:
; прежде чем преобразовывать второе слагаемое выделим полный квадрат в знаменателе для того, чтобы воспользоваться свойством линейности преобразования Лапласа:
при построении оригинала, соответствующего третьему слагаемому сначала найдем оригинал для функции , а затем применим теорему запаздывания для оригинала:
Задача 4. Не вычисляя интегралы, найти изображение
Решение: Воспользуемся теоремой об интегрировании оригинала:. И, значит,
Задача 5. Вычислить интеграл
Решение:Интегралпредставляет собой свертку функцийи. Ее изображением согласно теореме о свертке будет функция. Мы привели дробь, представляющую изображения в виде алгебраической суммы дробей таким образом, чтобы для каждой части существовал оригинал в таблице. Тогда убедимся, что оригиналом этого изображения служит следующая функция. И, значит,=.
Задача 6. Найти решение задачи Коши
Решение: Пусть функцияимеет изображение. Тогда по теореме о дифференцировании оригинала получим. Применим преобразование Лапласа к обеим частям уравнения. Выпишем получившееся операторное уравнение. Откуда получим. Таким образом.
Задача 7. Решить систему уравнений
Решение:Пустьи.Учтя, что, получим операторную систему линейных уравнений
Решая систему, получим =. Воспользовавшись таблицей изображений, найдеми.
Задача 8. Решить интегральное уравнение
Решение:Интеграл представляет собой свертку функцийи. Пусть. Тогда по теореме о свертке выпишем изображение интеграла. Составим теперь операторное уравнение, откуда. И, значит,.
Задание 9.Найти изображение функции, заданной следующим графиком:
Решение. Согласно графику функции (обозначим ее через), имеем:
Поэтому ее изображение можно найти, используя формулу преобразования Лапласа:
.
Ответ..
Задание 10. Контур подключен к постоянной э.д.с.(см. рис.) При установившемся режиме включается рубильники накоротко замыкает сопротивление. Найти выражение переходного тока..
Решение. Дифференциальное уравнение Кирхгофа до включения рубильникав данном случае имеет вид:
Согласно постановке задачи . Решим это уравнение операционным методом, предполагая, что.
.
Найдем оригинал получившегося изображения, разложив дроби на простые слагаемые методом неопределенных коэффициентов:
Таким образом, .
Установившийся ток в контуре до включения рубильника есть. Дифференциальное уравнение Кирхгофа после замыкания рубильникаимеет вид:
.
Решим это уравнение операционным методом.
.
Как и в предыдущем случае воспользуемся методом неопределенных коэффициентов для разложения изображения на слагаемые.
Оригиналом получившейся разности, как нетрудно заметить, будет .
Ответ. .