Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

ПЕРМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Операционное исчисление

Индивидуальные задания

Пособие разработано доцентом Цыловой Е. Г., доцентом Кротовой Е. Л.. Одобрено методической комиссией кафедры «Высшая математика» © 2007, каф. «Высшая математика» ПГТУ

Пермь 2007

Контрольная работа по операционному исчислению

Список литературы.

1. Араманович И.Г., Лунц Г.А., Эльсгольц Л.Э. Функции комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория устойчивости.-М.,1965, ч.2,гл.7 - 287 с.

2. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление: Учеб. пособие: в 2-х т.- Изд. стер. –М.: Интеграл – Пресс. Т.1. -2001.- 415 с. Т.2.- 2002.- 544 с.

Решение типового варианта.

Контрольная работа

Вариант 0.

Задача 1. Является ли оригиналом функция ?

Решение: Данная функция не является оригиналом, так как неравенство не может выполняться ни при каких s для всех t>0, так как . , что для любого s выполнено неравенство , начиная с некоторого значения t.

Задача 2. Найти изображения оригинала:

Решение: По таблице изображений найдем:

.

Задача 3. Найти оригиналы, соответствующие изображению:

Решение: Преобразуем таким образом, чтобы можно было воспользоваться таблицей изображений:

; прежде чем преобразовывать второе слагаемое выделим полный квадрат в знаменателе для того, чтобы воспользоваться свойством линейности преобразования Лапласа:

при построении оригинала, соответствующего третьему слагаемому сначала найдем оригинал для функции , а затем применим теорему запаздывания для оригинала:

Задача 4. Не вычисляя интегралы, найти изображение

Решение: Воспользуемся теоремой об интегрировании оригинала: . И, значит,

Задача 5. Вычислить интеграл

Решение: Интеграл представляет собой свертку функций и . Ее изображением согласно теореме о свертке будет функция . Мы привели дробь, представляющую изображения в виде алгебраической суммы дробей таким образом, чтобы для каждой части существовал оригинал в таблице. Тогда убедимся, что оригиналом этого изображения служит следующая функция . И, значит, = .

Задача 6. Найти решение задачи Коши

Решение: Пусть функция имеет изображение . Тогда по теореме о дифференцировании оригинала получим . Применим преобразование Лапласа к обеим частям уравнения. Выпишем получившееся операторное уравнение . Откуда получим . Таким образом .

Задача 7. Решить систему уравнений

Решение: Пусть и .Учтя, что , получим операторную систему линейных уравнений

Решая систему, получим = . Воспользовавшись таблицей изображений, найдем и .

Задача 8. Решить интегральное уравнение

Решение: Интеграл представляет собой свертку функций и . Пусть . Тогда по теореме о свертке выпишем изображение интеграла . Составим теперь операторное уравнение , откуда . И, значит, .

Задание 9. Найти изображение функции, заданной следующим графиком:

Решение. Согласно графику функции (обозначим ее через ), имеем:

Поэтому ее изображение можно найти, используя формулу преобразования Лапласа:

.

Ответ. .

Задание 10. Контур подключен к постоянной э.д.с. (см. рис.) При установившемся режиме включается рубильник и накоротко замыкает сопротивление . Найти выражение переходного тока. .

Решение. Дифференциальное уравнение Кирхгофа до включения рубильника в данном случае имеет вид:

Согласно постановке задачи . Решим это уравнение операционным методом, предполагая, что .

.

Найдем оригинал получившегося изображения, разложив дроби на простые слагаемые методом неопределенных коэффициентов:

Таким образом, .

Установившийся ток в контуре до включения рубильника есть . Дифференциальное уравнение Кирхгофа после замыкания рубильника имеет вид:

.

Решим это уравнение операционным методом.

.

Как и в предыдущем случае воспользуемся методом неопределенных коэффициентов для разложения изображения на слагаемые.

Оригиналом получившейся разности, как нетрудно заметить, будет .

Ответ. .

Вариант 1

1. Является ли оригиналом функция

2. Найти изображения оригинала:

3. Найти оригиналы, соответствующие изображению:

4. Не вычисляя интегралы, найти изображение

5. Вычислить интеграл

6. Найти решение задачи Коши

7. Решить систему уравнений

8. Решить интегральное уравнение

9. В контур (см. рис.) при нулевых начальных условиях подключена э.д.с. . Найти выражение переходного тока при при условиях колебательного процесса.

10. Найти изображение функции заданной следующим графиком:

Вариант 2

1. Является ли оригиналом функция

2. Найти изображения оригинала:

3. Найти оригиналы, соответствующие изображению:

4. Не вычисляя интегралы, найти изображение

5. Вычислить интеграл

6. Найти решение задачи Коши

7. Решить систему уравнений

8. Решить интегральное уравнение

9. На рисунке изображена цепь, замыкаемая и размыкаемая рубильником . Рубильник остается замкнутым в течение 2 секунд и разомкнутым в течение секунд, причем эта операция повторяется периодически в той же последовательности. Определить выражения тока в цепи при третьем замыкании и третьем размыкании, предполагая, что .

10. Найти изображение периодической функции заданной следующим графиком:

Вариант 3

1. Является ли оригиналом функция

2. Найти изображения оригинала:

3. Найти оригиналы, соответствующие изображению:

4. Не вычисляя интегралы, найти изображение

5. Вычислить интеграл

6. Найти решение задачи Коши

7. Решить систему уравнений

8. Решить интегральное уравнение

9. Контур подключен к постоянной э.д.с. (см. рис.) При установившемся режиме включается рубильник и накоротко замыкает сопротивление . Найти выражение переходного тока.

10. Найти изображение функции заданной следующим графиком:

Вариант 4

1. Является ли оригиналом функция

2. Найти изображения оригинала:

3. Найти оригиналы, соответствующие изображению:

4. Не вычисляя интегралы, найти изображение

5. Вычислить интеграл

6. Найти решение задачи Коши

7. Решить систему уравнений

8. Решить интегральное уравнение

9. В схеме (см. рис.) действует синусоидальное напряжение . В момент рубильник замыкает накоротко цепь . Найти выражения переходных токов.

10. Найти изображение периодической функции заданной следующим графиком:

Вариант 5

1. Является ли оригиналом функция ?

2. Найти изображения оригинала:

3. Найти оригиналы, соответствующие изображению:

4. Не вычисляя интегралы, найти изображение

5. Вычислить интеграл

6. Найти решение задачи Коши

7. Решить систему уравнений

8. Решить интегральное уравнение

9. В схеме (см. рис.) при включенном рубильнике напряжение на конденсаторе равно , а ток через катушку индуктивности равен . При выключенном рубильнике начинается разряд конденсатора. В конденсаторе предполагается наличие апериодических разрядов. Найти напряжение на конденсаторе в момент времени .

10. Найти изображение периодической функции заданной следующим графиком: