Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

ПЕРМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Элементы теории функций комплексного переменного

Индивидуальные задания

Пособие разработано ассистентом Костиной Е.В., ассистентом Морозовой Е.А., доцентом Плаксиной В.П., ст. преп. Федосеевой О.А.. Одобрено методической комиссией кафедры «Высшая математика» © 2007, каф. «Высшая математика» ПГТУ

Пермь 2007

Разбор типового варианта

Задание 1.

1) Найти модуль и аргумент чисел и. Изобразить числа на комплексной плоскости. Представить числа в тригонометрической и показательной форме.

2) Найти: а). ; б).; в).

Решение.

1) Изобразим числа на комплексной плоскости. При этом числу будет соответствовать точка, числу- точка.

Для нахождения модуля и аргумента заданных чисел воспользуемся формулами:

и

Получим:

,,

,.

Чтобы перейти от алгебраической формы записи комплексного числа к тригонометрической и показательной применим формулы:

и.

Использовав ранее полученные результаты, получим:

,

,

,

.

2) а)

б)

в) Применим формулу .

при :;

при :;

при :

Задание 2. Вычислить значение функциив точке, ответ представить в алгебраической форме комплексного числа:

а) ;

б) .

Решение.

а)

б) По определению .

,

Задание 3. Указать область дифференцируемости функциии вычислить производную. Выделить действительную и мнимую часть полученной производной.

Решение.

Выделим действительную и мнимую часть функции :

Таким образом, получим:

Найдем частные производные и выясним, в окрестности каких точек они существуют и непрерывны, а также в каких точках плоскости выполняются условия Коши-Римана:

.

,

,

т.е. для любых действитедбных х и у, и эти частные производные непрерывны во всей плоскости.

,

,

т.е. для любых действитедьных х и у, и эти частные производные непрерывны во всей плоскости.

Так как условия Коши-Римана выполняются для любой пары действительных чисел и частные производныесуществуют и непрерывны в окрестности любой точки, то производнаясуществует в любой точкекомплексной плоскости С.

Найдем эту производную:

Итак, .

Действительная часть производной:

,

мнимая часть производной:

.

Задание 4.Определить вид кривой.

Решение.

.

Откуда

Выразим из каждого уравнения:

Исключим из уравнений:

.

,

,,

,

- уравнение гиперболы.

Задание 5.Построить область плоскости, определяемую данными неравенствами:

а).

б).

а). Искомым множеством является пересечение кольца и внутренней части угла:

б). Кривую запишем в декартовых координатах:

Итак, .

Или ,

- Лемниската Бернулли.

Неравенство определяет точки, лежащие на лемнискате и внутри ее. Неравенствоопределяет точки, лежащие правее прямойИскомым множеством является пересечение этих областей:

Задание 6. Проверить, может ли функциябыть действительной частью некоторой аналитической функции, если да – восстановить ее, при условии.

Решение.

Найдем частные производные:

Следовательно,

,.

Таким образом, функция гармоническая в плоскости, и, значит существует такая аналитическая вфункция, что.

В силу условий Коши-Римана имеем:

(1)

(2)

Интегрируем уравнение (1) по переменной у, находим мнимую часть с точностью до слагаемого :

. (3)

Продифференцируем (3) по х:

Сопоставляя результат с (2), получаем , откуда.

Таким образом, имеем

и

Учитывая условие , получаем.

Итак,

Задание 7.Найти область плоскости, в которую отображается с помощью функцииобласть:плоскости.

Решение.

Для того чтобы найти образ области при отображении, нужно найти образ границыобласти, затем взять произвольную точку из областии найти ее образ.

Правило для определения уравнения образа кривой.

Пусть в области кривая задана. Чтобы найти уравнение образаэтой кривой в плоскостипри отображении с помощью функции, нужно исключитьииз уравнений:

(1)

Если кривая задана параметрическими уравнениями:

или,

то параметрические уравнения её образа при отображении будут

В данном примере граница области состоит из трех частей:. Найдем ее образ при данном отображении.

Выделим и действительную и мнимую части функции.

;

,.

Возьмем первую часть границы и найдем ее образ. Составим систему (1):

Возведем в квадрат первое и второе уравнения системы и сложим:

.

Окончательное уравнение границы при.

Аналогично находим образ :при.

Образ находим из системы:

Следовательно, образ границы :приипри;. Изобразим образы границна плоскости.

Для изображения образа области на плоскостивозьмем контрольную точку. Точкаобратится в точку.

Задание 8.Найти все лорановские разложения данной функциипо степеням. Указать главную и правильную части ряда.

а) ,;

б) ,.

Решение.

а) Функция имеет две особые точкии. Отметим их на плоскостиZ, проведем 2 окружности с центром в точке, проходящие соответственно через точкии. Следовательно, имеется три области, в каждой из которых функцияявляется аналитической:

1);

2) кольцо ;

3) область , являющаяся внешностью круга.

Найдем ряды Лорана для функции в каждой из этих областей, используя формулу

(1)

справедливую при .

Представим функцию в виде суммы элементарных дробей:

.

1) Рассмотрим круг . Запишем элементарные дробиив виде, гдепри. Представим функциюследующим образом:. Теперь к таким дробям применима формула (1).

Так как в рассматриваемой области , то в силу формулы (1). Так каки тем более(если, то тем более), значит, в силу формулы (1).

Следовательно, ==

Полученное разложение содержит только правильную часть ряда Лорана.

2) Рассмотрим кольцо . В этой области запишем рассматриваемую функцию в виде. В знаменателях дробей мы записали выражения вида, где.

Так как , тои в силу формулы (1). Так как, то, как и в предыдущем случае,.

Следовательно, ==.

Полученное разложение содержит и правильную, и главную часть ряда Лорана.

3) Рассмотрим область . В этой области, поэтому в силу формулы (1).

В рассматриваемой области , значити поэтому

.

Функцию представим в виде. В силу полученных разложений имеет место равенство

=.

Полученное разложение содержит только главную часть ряда Лорана.

б) Функция имеет 2 особые точкии, отметим их на плоскостиZ. Точкасовпадает с точкой. Проводим окружность с центром в точке, проходящую через точку.

Следовательно существуют две области, в каждой из которых функция является аналитической:

1) кольцо

2) кольцо

Найдем ряды Лорана для функции в каждой из этих областей, используя формулу (1). Представим функциюв виде суммы элементарных дробей:

1) Требуется получить разложение функции по степенямz–1 в области. Первая дробь уже представляет собой степень. Для того, чтобы вторую дробь представить в искомом виде, сделаем замену, тогдаи. Дробьразложим по степенямкак в предыдущем примере. Привоспользуемся представлением:

;

Сделаем обратную замену. Получим, что при функцияпредставима в виде

.

Полученное разложение содержит правильную и главную часть ряда Лорана.

2) Аналогично, сделав замену , получаем представление дробив области

Сделав обратную замену, получаем, что при функцияпредставима в виде:

.

В первом случае главная часть ряда Лорана содержит только одно слагаемое, во втором случае ряд Лорана состоит только из одной главной части.

Задание 9.Разложить в ряд Лорана функциюв окрестности особой точки.

Решение. Воспользуемся известным разложением:

.

Задание 10.Для функциинайти изолированные особые точки, провести их классификацию, вычислить вычеты относительно найденных точек.

a);

б) ;

в) .

Решение.

а). Особой точкой функции является точка . Чтобы определить вид особой точки разложим функцию в ряд Лорана по степеням:

Главная часть ряда Лорана содержит конечное число слагаемых, значит - полюс. Порядок высшей отрицательной степениопределяет порядок полюса. Следовательно,- полюс кратности 2. Вычет найдем, используя формулу, тогда.

б). Особой точкой функции является точка . Чтобы определить вид особой точки используем признак поведения функции в особой точке.

, значитустранимая точка и, следовательно.

в). Особой точкой функции является точка . Чтобы определить вид особой точки используем разложение функции в ряд Лорана по степеням:

Главная часть ряда Лорана содержит бесконечное число слагаемых, значит- существенно особая точка. Тогда, т.к. коэффициент приравен нулю.

Задание 11. Вычислить интегралы от функции комплексного переменного:

а) , где- отрезок прямой,,.

б) , где- ломаная,,,.

в) , где- дуга окружности,.

г) , где- отрезок прямой, соединяющий точкии,и.

Решение.

а) Так как подынтегральная функция аналитична всюду, то можно воспользоваться формулой Ньютона-Лейбница:=.

б) Подынтегральная функция определена и непрерывна всюду, ломанаяпредставляет собой кусочно-гладкую кривую, поэтому искомый интеграл сводится к вычислению двух криволинейных интегралов по координатам по формуле:

.

Следовательно,

.

Воспользуемся свойством аддитивности криволинейного интеграла:

.

На отрезке , значит,. Поэтому.

На отрезке ,,. Поэтому

.

Искомый интеграл равен.

в) Положим , тогда,. Следовательно,

=.

г) Зададим линию параметрическими уравнениями:,,,.

Для кривой, заданной параметрическими уравнениями ,, справедлива формула.

Поэтому =.

Задание 12.Вычислить интегралы, используя теорему Коши о вычетах:

а) ;

б) .

Решение.

а). Подынтегральная функция имеет внутри контура интегрирования две особые точки и. Тогда.

Определим вид особых точек и найдем в них вычеты.

, следовательно.

, следовательно- полюс.

Так как , то- полюс порядка.

.

Таким образом, .

б). Подынтегральная функция имеет внутри контура интегрирования две особые точки и. Тогда.

Так как и- полюсы первого порядка, то для вычисления вычетов применим формулу, где,,.

,

Таким образом, .

Задание 13.Вычислить интегралы с помощью вычетов.

а) ;

б) ;

в) .

Решение.

а) Сформулируем правило, позволяющее вычислять несобственные интегралы от рациональной функции действительного переменного с помощью теории функций комплексного переменного:

Пусть - рациональная функция,, гдеи- многочлены степениисоответственно. Если функциянепрерывна на всей действительной оси и, т.е. степень знаменателя по крайней мере на две единицы больше степени числителя, то

где означает сумму вычетов функциипо всем полюсам, расположенным в верхней полуплоскости.

Так как подынтегральная функция четная, то=. Построим функцию, которая на действительной оси (при) совпадает с подынтегральной функцией. Особые точки функции- это точкии. Из них в верхней полуплоскости находится точка, которая является полюсом второго порядка. Вычет функцииотносительно полюсаравен=. Так как в верхней полуплоскости только одна особая точка, то. Следовательно,=.

б) Сформулируем правило, позволяющее вычислить рассматриваемый несобственный интеграл с помощью теории функций комплексного переменного:

Пусть - рациональная функция,, гдеи- многочлены степениисоответственно. Если функциянепрерывна на всей действительной оси,,- произвольное действительное число, то

;

где означает сумму вычетов функциипо всем полюсам, расположенным в верхней полуплоскости.

Так как подынтегральная функция является четной, то=. Построим функцию=такую, чтона действительной оси (при) совпадает с:. Отметим, что присправедливо равенство. Функцияимеет в верхней полуплоскости полюс первого порядка в точке. Вычет функцииотносительно этого полюса равен=. Следовательно,=и=.

в) Сформулируем правило, позволяющее вычислить определенный интеграл функции, зависящей рационально от тригонометрических функций с помощью теории функций комплексного переменного:

Пусть - рациональная функция аргументови,и функциянепрерывна внутри промежутка интегрирования. Полагаем, тогда,,,. В этом случае

=

где есть сумма вычетов функцииотносительно полюсов, заключенных внутри окружности.

В рассматриваемом интеграле применим подстановку и после преобразований получим:=. Внутри круга радиуса 1 с центром в начале координат содержится только одна особая точка подынтегральной функции- это точка, которая является полюсом второго порядка. Вычет функцииотносительно точкиравен=. Следовательно,=.