Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Саратовский Государственный Технический Университет им. Ю.А. Гагарина

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Individualnye_zadania / 1_OprMatr

.doc

Скачиваний:

Добавлен:

12.02.2015

Размер:

699.39 Кб

Скачать

☆

1 / 21 2 > Следующая >>>

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

ПЕРМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Матрицы и определители

Индивидуальные задания

Пособие разработано ст. преп. Зубко Т. Я., доцентом Седовой С. М., доцентом Сулавко Т. С..

Одобрено методической комиссией кафедры «Высшая математика»

© 2007, каф. «Высшая математика» ПГТУ

Пермь 2007

Задание к работе

1. Вычислить определитель 3-го порядка, используя метод Саррюса (или метод треугольников) и метод разложения по минорам какого-нибудь ряда.

2. Вычислить определитель высшего порядка.

3. Привести матрицу к ступенчатому виду и вычислить ранг матрицы.

4. Выполнить действия с матрицами.

5. Вычислить значение многочлена от матрицы .

6. Найти неизвестную матрицу из уравнения.

Образец решения варианта.

1.Вычислить определитель 3-го порядка 1) по правилу Саррюса (правило треугольников). Это правило заключается в равенстве

Таким образом,

2) Второе правило вычисления называется разложением по элементам некоторой строки (или столбца). Например, разложение по элементам первой строки имеет вид

Определитель

разложим по элементам третьего столбца, т.е.

Как видно из приведенных примеров, вычисление определителей значительно упрощается, если какой-нибудь ряд определителя имеет только один элемент, отличный от нуля. Это можно всегда достигнуть, используя свойства определителей. В определителе

умножим первую строку на 2 и прибавим ко второй, прибавим первую строку к третьей, получим

2. Вычислить определитель высшего порядка

Решение :

Используя свойства определителя, понизим порядок определителя. С этой целью прибавим пятый столбец к первому :

;

в полученном определителе 4-го порядка четвертый столбец умножим на 3 и прибавим к первому столбцу, затем умножим его на 2 и прибавим ко второму столбцу, умножим его на 8 и прибавим к третьему столбцу, получаем

Из приведенного примера очевидно, что вычисление определителей высших порядков значительно упрощается, если определитель привести к треугольному виду.

3. Привести матрицу к ступенчатому виду и вычислить ранг матрицы

Решение.

Говорят, что квадратная матрица имеет ступенчатый вид, если ниже ее главной диагонали стоят нулевые элементы. Матрица приводится к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований : а) перестановка строк, б) умножение строки на число, в) прибавление к одной строки другой, умноженной на некоторое число. Ранг матрицы , , равен количеству ненулевых строк эквивалентной ей матрицы ступенчатого вида.

В первом столбце данной матрицы ниже первого элемента получим нулевые элементы с помощью преобразования в). Последовательно умножим первую строку матрицы на (–2) и прибавим ко второй строке, умножим на (–3) и прибавим к третьей строке, умножим на (–2) и прибавим к четвертой строке, получим

В полученной матрице во втором столбце во второй строке и ниже второй строки отсутствуют единицы. Единицу можно получить, умножив вторую строку на (), или поделив на (–5) , а затем во втором столбце ниже второго элемента получить нули с помощью преобразования в), при этом будут возникать дробные числа. Во избежание вычислений над дробями получим единицу во втором столбце второй строки иначе: ко второй строке прибавим третью строку, умноженную на (–1), результат запишем на месте второй строки. Далее, поделим третью строку на (–2), четвертую строку на (–1), имеем

Во втором столбце полученной матрицы ниже второго элемента получим нулевые элементы. Последовательно умножим вторую строку полученной матрицы на 2 и прибавим к третьей строке, умножим на 7 и прибавим к четвертой строке, затем третью строку поделим на 9 , четвертую строку поделим на 18. Во вновь полученной матрице в третьем столбце ниже третьего элемента получим нулевой элемент: третью строку умножим на (–1) и прибавим к четвертой строке, имеем

Отсюда заключаем, что .

4. Выполнить действия с матрицами

Решение. Обозначим

, , , .

Произведение имеет смысл, так как число столбцов матрицы равно числу строк матрицы . Находим матрицу , элементы которой , . Имеем

Произведение имеет смысл, так как тоже число столбцов матрицы равно числу строк матрицы . Находим матрицу , элементы которой , . Имеем

Разность имеет смысл, так как матрицы и имеют одинаковую размерность . Находим искомую матрицу , элементы которой , . Имеем

Ответ : Результатом действия данных матриц является матрица

5. Вычислить значение многочлена от матрицы , где

, .

Решение.

При вычислении значения многочлена от матрицы вместо подставляем данную матрицу , а свободный член многочлена записываем в матричной форме, т.е. в виде , где единичная матрица того же порядка, что и данная матрица . Таким образом,

2) ,

3) .

Имеем

Ответ : .

6. 1) Найти неизвестную матрицу из уравнения

Решение.

Исходное уравнение запишем в матричной форме

, где , .

Матричное уравнение вида имеет решение, если матрицы и – квадратные матрицы одинакового порядка и матрица – невырожденная, т.е. . В этом случае для матрицы существует обратная матрица . Умножая слева обе части уравнения на , получим

, где единичная матрица,

искомая матрица.

Для данной матрицы : . Следовательно, существует . Найдем ее по формуле , где алгебраическое дополнение элемента матрицы . Для данной матрицы : . Тогда

Ответ : .

2) Найти неизвестную матрицу из уравнения

Решение.

Исходное уравнение запишем в матричной форме

, где , .

Матричное уравнение вида имеет решение, если матрицы и – квадратные матрицы одинакового порядка и , т.е. для матрицы существует обратная матрица . Умножая справа обе части уравнения на , получим , где единичная матрица, или , или