Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

ПЕРМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Теория поля

Индивидуальные задания

Пособие разработано ассистентом Оглезневой А. Н.. Одобрено методической комиссией кафедры «Высшая математика» © 2007, каф. «Высшая математика» ПГТУ

Пермь 2007 Образец решения варианта.

Пример 1: Найти производную скалярного поля в точке по направлению

1. вектора

2. нормали к поверхности : , образующей острый угол с положительным направлением оси

3. перпендикулярному к поверхности уровня функции , проходящей через точку .

Решение:

Производную по направлению ищем по формуле:

,

,

,

1. Найдем вектор , т.е. ,

Т.к. , тогда получаем .

Таким образом

.

2. Найдем вектор , т.е. , где ‑ вектор нормали к поверхности .

Тогда ,

Получаем , , .

Заметим, что , то найденный вектор образует острый угол с осью , следовательно, требование задачи выполнено.

Таким образом

.

3. Найдем поверхность уровня функции , проходящей через точку :

.

Получаем поверхность : .

Аналогично предыдущему пункту находим вектор , где ‑ вектор перпендикулярный поверхности уровня

, ,

, ,

Таким образом

.

Пример 2: Найти градиент скалярного поля

1. 

2. . Построить поверхности уровня для заданных значений .

Решение

1. По определению градиента скалярного поля .

Находим частные производные функции :

, ,

Таким образом .

2. Аналогично пункту а), получим:

, ,

Таким образом .

Построим поверхности уровня:

Тогда , ‑ конус с вершиной в начале координат.

Если , то :

Однополостный Двуполостный

гиперболоид вращения гиперболоид вращения

вокруг оси вокруг оси

Пример 3: Найти векторные линии векторного поля :

1. 

2. 

Решение:

1. Согласно определению, векторных линий:

, или .

Решая систему, получаем . Таким образом, векторные линии данного поля представляют собой окружности с центрами на оси , лежащие в плоскостях, перпендикулярных этой оси.

2. Аналогично предыдущему пункту, составляем систему

.

Решим ее методом составления интегрируемых комбинаций:

Равенство образует первую интегрируемую комбинацию. Получаем . Для получения еще одной интегрируемой комбинации используем свойство пропорции: .

Тогда, в нашем случае . Интегрируя данное равенство, получаем .

Таким образом, векторные линии задаются системой:

Т.е. векторные линии данного поля являются линиями пересечения гиперболических цилиндров с плоскостями .

Пример 4. Вычислить поток векторного поля через внешнюю сторону боковой поверхности цилиндра , ограниченного плоскостями .

Решение:

Вычислим поток векторного поля по формуле:

, где ‑ нормальный единичный вектор к поверхности . Найдем вектор . Запишем уравнение поверхности в неявном виде: .

Тогда . Т.к. (по условию задачи), то образует острый угол с осью :

Следовательно, .

Поток векторного поля . Спроектируем поверхность : на плоскость , получим область , ограниченную линиями: .

=

Таким образом,

(применяя подстановку , получаем) = .

Пример 5. Вычислить поток векторного поля

через внешнюю сторону части поверхности , расположенной над плоскостью .

Решение:

Замкнем данную поверхность куском плоскости , который ограничен окружностью . Тогда можем применить формулу Гаусса-Остроградского.

Пусть ‑ объем полученного тела, ограниченного замкнутой кусочно-гладкой поверхностью , состоящей из части параболоида вращения и части плоскости .

Поток данного векторного поля через поверхность по теореме Гаусса-Остроградского равен:

, где .

.

Следовательно, поток

.

В силу аддитивности потока будем иметь

Отсюда искомый поток

Найдем . Так как на плоскости , имеем

, и тогда

Таким образом, поток через круг будет равен площади круга : .

Искомый поток .

Пример 6. Вычислить работу векторного поля вдоль линии , являющейся пересечением параболического цилиндра с плоскостью от точки до точки .

Решение:

Зададим линию параметрически: положив , получим , а . Тогда , , . Точке соответствует значение параметра , а точке ‑ значение .

Таким образом:

.

Пример 7. Вычислить циркуляцию векторного поля

вдоль периметра треугольника с вершинами .

Решение:

По определению циркуляции , получаем

.

На отрезке , следовательно

.

На отрезке , следовательно

.

На отрезке , следовательно

.

Следовательно,

Пример 8. Найти циркуляцию вектора по контуру непосредственно и по формуле Стокса.

Решение:

I способ.

Контур - окружность радиуса , лежащая в плоскости . Выберем ориентацию как показано на рисунке, т.е. против часовой стрелки. Параметрические уравнения окружности имеют вид , так что

II способ.

Для вычисления циркуляции по теореме Стокса выберем какую-нибудь поверхность , натянутую на контур . Естественно в качестве взять круг, имеющий контур своей границей. Уравнение поверхности имеет вид: . Согласно выбранной ориентации контура нормаль к поверхности необходимо взять равной .

Далее .

В силу теоремы Стокса

Пример 9. Доказать, что векторное поле является потенциальным. Найти его потенциал.

Решение:

Необходимым и достаточным условием потенциальности поля является равенство нулю вихря поля. В нашем случае

.

Таким образом, поле является потенциальным.

Обозначим - искомый потенциал. По определению потенциального поля, поле градиента искомой функции должно совпадать с векторным полем . Поэтому

. Отсюда , где - некоторая функция аргументов и . Из условия , можно сделать вывод, что . Таким образом, . Неопределенную функцию найдем из условия . Решением последнего уравнения является функция .

В итоге потенциал имеет вид .

Пример 10. Пусть - произвольные векторные поля. Показать, что (символом обозначено скалярное произведение векторов).

Решение:

Пусть и - произвольные векторные поля. Найдем векторное произведение .

.