Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Individualnye_zadania / 20_TeoriaPolya.doc
Скачиваний:
15
Добавлен:
12.02.2015
Размер:
2.34 Mб
Скачать

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

ПЕРМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Теория поля

Индивидуальные задания

Пособие разработано ассистентом Оглезневой А. Н..

Одобрено методической комиссией кафедры «Высшая математика»

© 2007, каф. «Высшая математика» ПГТУ

Пермь 2007

Образец решения варианта.

Пример 1: Найти производную скалярного поляв точкепо направлению

  1. вектора

  2. нормали к поверхности :, образующей острый угол с положительным направлением оси

  3. перпендикулярному к поверхности уровня функции , проходящей через точку.

Решение:

Производную по направлению ищем по формуле:

,

,

,

  1. Найдем вектор , т.е.,

Т.к. , тогда получаем.

Таким образом

.

  1. Найдем вектор , т.е., где‑ вектор нормали к поверхности.

Тогда ,

Получаем ,,.

Заметим, что , то найденный вектор образует острый угол с осью, следовательно, требование задачи выполнено.

Таким образом

.

  1. Найдем поверхность уровня функции , проходящей через точку:

.

Получаем поверхность :.

Аналогично предыдущему пункту находим вектор , где‑ вектор перпендикулярный поверхности уровня

,,

,,

Таким образом

.

Пример 2:Найти градиент скалярного поля

  1. . Построить поверхности уровня для заданных значений.

Решение

  1. По определению градиента скалярного поля .

Находим частные производные функции :

,,

Таким образом .

  1. Аналогично пункту а), получим:

,,

Таким образом .

Построим поверхности уровня:

Тогда ,‑ конус с вершиной в начале координат.

Если , то:

Однополостный Двуполостный

гиперболоид вращения гиперболоид вращения

вокруг оси вокруг оси

Пример 3:Найти векторные линии векторного поля:

Решение:

  1. Согласно определению, векторных линий:

, или.

Решая систему, получаем . Таким образом, векторные линии данного поля представляют собой окружности с центрами на оси, лежащие в плоскостях, перпендикулярных этой оси.

  1. Аналогично предыдущему пункту, составляем систему

.

Решим ее методом составления интегрируемых комбинаций:

Равенство образует первую интегрируемую комбинацию. Получаем. Для получения еще одной интегрируемой комбинации используем свойство пропорции:.

Тогда, в нашем случае . Интегрируя данное равенство, получаем.

Таким образом, векторные линии задаются системой:

Т.е. векторные линии данного поля являются линиями пересечения гиперболических цилиндров с плоскостями.

Пример 4.Вычислить поток векторного полячерез внешнюю сторону боковой поверхности цилиндра, ограниченного плоскостями.

Решение:

Вычислим поток векторного поля по формуле:

, где‑ нормальный единичный вектор к поверхности. Найдем вектор. Запишем уравнение поверхностив неявном виде:.

Тогда . Т.к.(по условию задачи), тообразует острый угол с осью:

Следовательно, .

Поток векторного поля . Спроектируем поверхность:на плоскость, получим область, ограниченную линиями:.

=

Таким образом,

(применяя подстановку, получаем) =.

Пример 5.Вычислить поток векторного поля

через внешнюю сторону части поверхности , расположенной над плоскостью.

Решение:

Замкнем данную поверхность куском плоскости , который ограничен окружностью. Тогда можем применить формулу Гаусса-Остроградского.

Пусть ‑ объем полученного тела, ограниченного замкнутой кусочно-гладкой поверхностью, состоящей из частипараболоида вращенияи частиплоскости.

Поток данного векторного поля через поверхность по теореме Гаусса-Остроградского равен:

, где.

.

Следовательно, поток

.

В силу аддитивности потока будем иметь

Отсюда искомый поток

Найдем . Так как на плоскости, имеем

,и тогда

Таким образом, поток через кругбудет равен площади круга:.

Искомый поток .

Пример 6.Вычислить работу векторного полявдоль линии, являющейся пересечением параболического цилиндрас плоскостьюот точкидо точки.

Решение:

Зададим линию параметрически: положив, получим, а. Тогда,,. Точкесоответствует значение параметра, а точке‑ значение.

Таким образом:

.

Пример 7. Вычислить циркуляцию векторного поля

вдоль периметра треугольника с вершинами .

Решение:

По определению циркуляции , получаем

.

На отрезке , следовательно

.

На отрезке , следовательно

.

На отрезке , следовательно

.

Следовательно,

Пример 8. Найти циркуляцию векторапо контурунепосредственно и по формуле Стокса.

Решение:

Iспособ.

Контур - окружность радиуса, лежащая в плоскости. Выберем ориентацию как показано на рисунке, т.е. против часовой стрелки. Параметрические уравнения окружности имеют вид, так что

IIспособ.

Для вычисления циркуляции по теореме Стокса выберем какую-нибудь поверхность , натянутую на контур. Естественно в качествевзять круг, имеющий контурсвоей границей. Уравнение поверхностиимеет вид:. Согласно выбранной ориентации контура нормаль к поверхности необходимо взять равной.

Далее .

В силу теоремы Стокса

Пример 9. Доказать, что векторное полеявляется потенциальным. Найти его потенциал.

Решение:

Необходимым и достаточным условием потенциальности поля является равенство нулю вихря поля. В нашем случае

.

Таким образом, поле является потенциальным.

Обозначим - искомый потенциал. По определению потенциального поля, поле градиента искомой функциидолжно совпадать с векторным полем. Поэтому

. Отсюда, где- некоторая функция аргументови. Из условия, можно сделать вывод, что. Таким образом,. Неопределенную функциюнайдем из условия. Решением последнего уравнения является функция.

В итоге потенциал имеет вид .

Пример 10. Пусть- произвольные векторные поля. Показать, что(символомобозначено скалярное произведение векторов).

Решение:

Пусть и- произвольные векторные поля. Найдем векторное произведение.

.

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в папке Individualnye_zadania