Вариант 13.

Задание 1. Найти производную скалярного поля в точке по направлению нормали к поверхности , образующей острый угол с положительным направлением оси :

,

, .

Задание 2. Найти градиент скалярного поля и построить поверхности уровня для заданных значений :

, где ‑ радиус-вектор точки поля, .

Задание 3. Найти векторные линии векторного поля :

.

Задание 4. Найти поток векторного поля через

1. полную поверхность призмы, получающейся при пересечении плоскостей ;

2. сечение призмы плоскостью в направлении нормали, образующей острый угол с осью .

Задание 5. Найти поток векторного поля через плоскость , расположенную в первом октанте (нормаль образует острый угол с осью Oz).

Задание 6. Найти поток векторного поля через часть поверхности сферы , находящейся в первом октанте, в направлении внешней нормали.

Задание 7. Найти работу силы , при перемещении материальной точки вдоль линии от точки до точки .

Задание 8. Найти циркуляцию векторного поля вдоль контура в направлении, соответствующем возрастанию параметра .

Задание 9. Найти циркуляцию векторного поля по контуру непосредственно и по формуле Стокса.

Задание 10. Показать потенциальность векторного поля . Найти его потенциал.

Задание 11. Найти , где - произвольная дифференцируемая функция, - постоянный вектор, - радиус-вектор точки.

Вариант 14.

Задание 1. Найти производную скалярного поля в точке по направлению вектора :

,

, .

Задание 2. Найти градиент скалярного поля и построить поверхности уровня для заданных значений :

, .

Задание 3. Найти векторные линии векторного поля :

.

Задание 4. Найти поток векторного поля через

1. полную поверхность тела, ограниченного цилиндром и плоскостями ;

2. сечение этого тела плоскостью в положительном направлении оси .

Задание 5. Найти поток векторного поля через плоскость , расположенную в первом октанте (нормаль образует острый угол с осью Oz).

Задание 6. Найти поток векторного поля через часть поверхности , заключенной между плоскостями , в направлении внешней нормали.

Задание 7. Найти работу силы , при перемещении материальной точки вдоль линии от точки до точки .

Задание 8. Найти циркуляцию векторного поля вдоль контура в направлении, соответствующем возрастанию параметра .

Задание 9. Найти циркуляцию векторного поля по контуру непосредственно и по формуле Стокса.

Задание 10. Показать потенциальность векторного поля . Найти его потенциал.

Задание 11. Найти и векторного поля , где - радиус-вектор точки поля.

Вариант 15.

Задание 1. Найти производную скалярного поля в точке по направлению вектора :

,

, .

Задание 2. Найти градиент скалярного поля и построить поверхности уровня для заданных значений :

, .

Задание 3. Найти векторные линии векторного поля :

.

Задание 4. Найти поток вихрей вектора через

1. боковую поверхность цилиндра , стоящего на плоскости и сверху ограниченного плоскостью ;

2. верхнее основание этого цилиндра, лежащее в плоскости в положительном направлении оси .

Задание 5. Найти поток векторного поля через плоскость , расположенную в первом октанте (нормаль образует острый угол с осью Oz).

Задание 6. Найти поток векторного поля через часть поверхности , заключенной между плоскостями в направлении внешней нормали.

Задание 7. Найти работу силы , при перемещении материальной точки вдоль линии от точки до точки .

Задание 8. Найти циркуляцию векторного поля вдоль контура в направлении, соответствующем возрастанию параметра .

Задание 9. Найти циркуляцию векторного поля по контуру непосредственно и по формуле Стокса.

Задание 10. Показать потенциальность векторного поля . Найти его потенциал.

Задание 11. Непосредственным вычислением показать, что поле градиента скалярной функции безвихревое.