Вариант 16.

Задание 1. Найти производную скалярного поля в точке по направлению вектора :

,

, .

Задание 2. Найти градиент скалярного поля и построить поверхности уровня для заданных значений :

, .

Задание 3. Найти векторные линии векторного поля :

.

Задание 4. Найти поток векторного поля через

1. полную поверхность конуса , ;

2. боковую поверхность этого конуса.

Задание 5. Найти поток векторного поля через плоскость , расположенную в первом октанте (нормаль образует острый угол с осью Oz).

Задание 6. Найти поток векторного поля через внешнюю сторону части поверхности , отсекаемой от нее плоскостями и расположенной в первом октанте.

Задание 7. Найти работу силы , при перемещении материальной точки вдоль линии от точки до точки .

Задание 8. Найти циркуляцию векторного поля вдоль контура в направлении, соответствующем возрастанию параметра .

Задание 9. Найти циркуляцию векторного поля по контуру непосредственно и по формуле Стокса.

Задание10. Показать потенциальность векторного поля . Найти его потенциал.

Задание 11. Найти , где , - радиус-вектор точки поля, ‑ произвольная дифференцируемая функция.

Вариант 17.

Задание 1. Найти производную скалярного поля в точке по направлению вектора :

,

, .

Задание 2. Найти градиент скалярного поля и построить поверхности уровня для заданных значений :

, .

Задание 3. Найти векторные линии векторного поля :

.

Задание 4. Найти поток векторного поля через

1. полную поверхность тела, ограниченного цилиндром , плоскостями ;

2. плоскость этой поверхности в направлении нормали, образующей тупой угол с осью .

Задание 5. Найти поток векторного поля через плоскость , расположенную в первом октанте (нормаль образует острый угол с осью Oz).

Задание 6. Найти поток векторного поля через часть поверхности , заключенной между плоскостями , в направлении внешней нормали.

Задание 7. Найти работу силы , при перемещении материальной точки вдоль линии от точки до точки .

Задание 8. Найти циркуляцию векторного поля вдоль контура в направлении, соответствующем возрастанию параметра .

Задание 9. Найти циркуляцию векторного поля по контуру непосредственно и по формуле Стокса.

Задание10. Показать потенциальность векторного поля . Найти его потенциал.

Задание 11. Вычислить , где ‑ радиус-вектор точки, ‑ постоянный вектор.

Вариант 18.

Задание 1. Найти производную скалярного поля в точке по направлению вектора :

,

, .

Задание 2. Найти градиент скалярного поля и построить поверхности уровня для заданных значений :

, .

Задание 3. Найти векторные линии векторного поля :

.

Задание 4. Найти поток векторного поля через

1. полную поверхность тела, ограниченного цилиндрами , и плоскостями ;

2. через часть плоскости этой поверхности в положительном направлении оси .

Задание 5. Найти поток векторного поля через плоскость , расположенную в первом октанте (нормаль образует острый угол с осью Oz).

Задание 6. Найти поток векторного поля через боковую поверхность конуса в направлении внешней нормали.

Задание 7. Найти работу силы , при перемещении материальной точки вдоль линии от точки до точки .

Задание 8. Найти циркуляцию векторного поля вдоль контура в направлении, соответствующем возрастанию параметра .

Задание 9. Найти циркуляцию векторного поля по контуру непосредственно и по формуле Стокса.

Задание 10. Показать потенциальность векторного поля . Найти его потенциал.

Задание 11. Показать, что , где - радиус-вектор точки поля, - произвольная дифференцируемая функция.