Вариант 19.

Задание 1. Найти производную скалярного поля в точке по направлению вектора :

,

, .

Задание 2. Найти градиент скалярного поля и построить поверхности уровня для заданных значений :

, .

Задание 3. Найти векторные линии векторного поля :

.

Задание 4. Найти поток векторного поля через

1. полную поверхность тела, ограниченного параболоидом , и плоскостью ;

2. сечение этой поверхности плоскостью в положительном направлении оси .

Задание 5. Найти поток векторного поля через плоскость , расположенную в первом октанте (нормаль образует острый угол с осью Oz).

Задание 6. Найти поток векторного поля через внешнюю сторону цилиндра , ограниченной плоскостями .

Задание 7. Найти работу силы , при перемещении материальной точки вдоль линии от точки до точки .

Задание 8. Найти циркуляцию векторного поля вдоль контура в направлении, соответствующем возрастанию параметра .

Задание 9. Найти циркуляцию векторного поля по контуру непосредственно и по формуле Стокса.

Задание 10. Показать потенциальность векторного поля . Найти его потенциал.

Задание 11. Пусть - произвольные дифференцируемые функции. Доказать, что .

Вариант 20.

Задание 1. Найти производную скалярного поля в точке по направлению вектора :

,

, .

Задание 2. Найти градиент скалярного поля и построить поверхности уровня для заданных значений :

, .

Задание 3. Найти векторные линии векторного поля :

.

Задание 4. Найти поток векторного поля через

1. полную поверхность тела, ограниченного поверхностями , и плоскостью ;

2. сечение этой поверхности плоскостью в положительном направлении оси .

Задание 5. Найти поток векторного поля через плоскость , расположенную в первом октанте (нормаль образует острый угол с осью Oz).

Задание 6. Найти поток векторного поля через боковую поверхность конуса в направлении внешней нормали.

Задание 7. Найти работу силы , при перемещении материальной точки вдоль линии от точки до точки .

Задание 8. Найти циркуляцию векторного поля вдоль контура в направлении, соответствующем возрастанию параметра .

Задание 9. Найти циркуляцию векторного поля по контуру непосредственно и по формуле Стокса.

Задание 10. Показать потенциальность векторного поля . Найти его потенциал.

Задание 11. Показать, что если и - постоянные векторы, - радиус-вектор точки, то .

Вариант 21.

Задание 1. Найти производную скалярного поля в точке по направлению, перпендикулярному к линии уровня функции , проходящей через точку :

, .

Задание 2. Найти градиент скалярного поля и построить поверхности уровня для заданных значений :

, .

Задание 3. Найти векторные линии векторного поля :

.

Задание 4. Найти поток векторного поля через

1. полную поверхность цилиндра , и плоскостью ;

2. боковую поверхность этого тела в сторону внешней нормали.

Задание 5. Найти поток векторного поля через плоскость , расположенную в первом октанте (нормаль образует острый угол с осью Oz).

Задание 6. Вычислить поток векторного поля через внешнюю часть параболоида , расположенную в первом октанте и ограниченную плоскостями .

Задание 7. Найти работу силы , при перемещении материальной точки вдоль линии от точки до точки .

Задание 8. Найти циркуляцию векторного поля вдоль контура в направлении, соответствующем возрастанию параметра .

Задание 9. Найти циркуляцию векторного поля по контуру непосредственно и по формуле Стокса.

Задание 10. Показать потенциальность векторного поля . Найти его потенциал.

Задание 11. Доказать, что , где - переменный, - постоянный векторы, - скалярное произведение векторов.