Вариант 28.

Задание 1. Найти производную скалярного поля по направлению кривой , заданной параметрически в точке , соответствующей значению параметра :

, , .

Задание 2. Найти градиент скалярного поля и построить поверхности уровня для заданных значений :

, .

Задание 3. Найти векторные линии векторного поля :

.

Задание 4. Найти поток векторного поля через

1. полную поверхность тела, ограниченного поверхностями , ( );

2. часть поверхности , ограничивающую данное тело, в сторону внешней нормали.

Задание 5. Найти поток векторного поля через плоскость , расположенную в первом октанте (нормаль образует острый угол с осью Oz).

Задание 6. Найти поток векторного поля через часть поверхности , отсеченную плоскостью в сторону внешней нормали.

Задание 7. Найти работу силы , при перемещении материальной точки вдоль линии от точки до точки .

Задание 8. Найти циркуляцию векторного поля вдоль контура в направлении, соответствующем возрастанию параметра .

Задание 9. Найти циркуляцию векторного поля по контуру непосредственно и по формуле Стокса.

Задание 10. Показать потенциальность векторного поля . Найти его потенциал.

Задание 11. Вычислить , где - радиус-вектор точки, - постоянный вектор.

Вариант 29.

Задание 1. Найти производную скалярного поля по направлению кривой , заданной параметрически в точке , соответствующей значению параметра :

, , .

Задание 2. Найти градиент скалярного поля и построить поверхности уровня для заданных значений :

, .

Задание 3. Найти векторные линии векторного поля :

.

Задание 4. Найти поток векторного поля через

1. полную поверхность тела, ограниченного поверхностями , , ;

2. часть поверхности , ограничивающую данное тело, в сторону внешней нормали.

Задание 5. Найти поток векторного поля через плоскость , расположенную в первом октанте (нормаль образует острый угол с осью Oz).

Задание 6. Найти поток векторного поля через часть поверхности , отсеченную конусом в сторону внешней нормали.

Задание 7. Найти работу силы , при перемещении материальной точки вдоль линии от точки до точки .

Задание 8. Найти циркуляцию векторного поля вдоль контура в направлении, соответствующем возрастанию параметра .

Задание 9. Найти циркуляцию векторного поля по контуру непосредственно и по формуле Стокса.

Задание 10. Показать потенциальность векторного поля . Найти его потенциал.

Задание 11. Доказать, что .

Вариант 30.

Задание 1. Найти производную скалярного поля по направлению кривой , заданной параметрически в точке , соответствующей значению параметра :

, , .

Задание 2. Найти градиент скалярного поля и построить поверхности уровня для заданных значений :

, .

Задание 3. Найти векторные линии векторного поля :

.

Задание 4. Найти поток векторного поля через

1. полную поверхность тела, ограниченного поверхностями , ;

2. часть поверхности , ограничивающую данное тело, в сторону внешней нормали.

Задание 5. Найти поток векторного поля через плоскость , расположенную в первом октанте (нормаль образует острый угол с осью Oz).

Задание 6. Найти поток векторного поля через часть поверхности , заключенной между плоскостями , в направлении внешней нормали.

Задание 7. Найти работу силы , при перемещении материальной точки вдоль линии от точки до точки .

Задание 8. Найти циркуляцию векторного поля вдоль контура в направлении, соответствующем возрастанию параметра .

Задание 9. Найти циркуляцию векторного поля по контуру непосредственно и по формуле Стокса.

Задание 10. Показать потенциальность векторного поля . Найти его потенциал.

Задание 11. Найти , где - радиус-вектор точки, - вектор, зависящий только от модуля вектора .