- •2 Преобразования кинематических характеристик частицы при
- •3 Динамические характеристики частицы. Законы Ньютона
- •4 Принцип относительности Галилея. Механическая концепция
- •5 Уравнение движения частицы относительно исо. Принцип
- •6 Уравнение движения частицы относительно нисо. Силы
- •7 Принципы д¢Аламбера, виртуальных перемещений и
- •8 Обобщенные координаты и обобщенные силы
- •9 Уравнения Лагранжа (второго рода)
- •10 Принцип экстремального действия. Преимущество
- •11 Обобщенная энергия, обобщенный импульс и законы их
- •12 Центр инерции и законы сохранения импульса и момента
- •13 Связь законов сохранения со свойствами симметрии
- •14 Задача двух тел. Движение в центральном поле
- •15 . Задача Кеплера
- •16 Рассеяние частиц. Формула Резерфорда
- •17 Свободные и вынужденные одномерные колебания
- •18 Затухающие колебания
- •19 Вынужденные колебания при наличии трения
- •20 Кинематическое описание твердого тела. Углы Эйлера
- •21 Кинетическая энергия и момент импульса твердого тела
- •22 Уравнения движения твердого тела. Динамические уравнения Эйлера
- •23 Функция Гамильтона и канонические уравнения Гамильтона
- •24 Уравнение Гамильтона-Якоби. Теорема Якоби
- •25 Тензоры деформации и скоростей деформации
- •26 Закон сохранения массы и уравнение непрерывности
- •27 Поле скоростей и его характеристики
- •28 Силы, действующие в сплошных средах. Тензор напряжения
- •29 Необходимые уравнения движения сплошных сред
- •30 Уравнения движения идеальной жидкости
- •31 Интегралы уравнений движения идеальной жидкости
- •32 Звуковые волны
31 Интегралы уравнений движения идеальной жидкости
Уравнения движения жидкости в общем виде не интегрируются. Для рассмотрения частного случая предположим:
1) жидкость идеальна, ее движение описывается уравнением Ламба-Громеки;
2) движение установившееся, т. е. переменные в уравнении движения не зависят от времени;
3) массовые силы потенциальные, т. е. ;
4) жидкость баротропна, т. е. .
При таких условиях уравнение Ламба-Громеки принимает вид:
. (9.2.1)
Умножая это уравнение скалярно на элементарное перемещение вдоль линии тока, для установившегося движения получим:
. (9.2.2)
Отсюда для данной линии тока имеем:
. (9.2.3)
Это интеграл Бернулли. Для различных линий тока значения постоянной разные.
При постоянной плотности в поле тяжести запишем:
,или. (9.2.4)
Смысл интеграла Бернулли в виде (9.2.4) выражает теорема Бернулли: сумма высот геометрической, скоростной и пьезометрической вдоль линии тока остается величиной неизменной.
Если жидкость покоится, то . Величина– пьезометрический напор.
Рассмотрим другой интеграл уравнений движения жидкости в предположениях:
1) жидкость идеальна;
2) движение потенциально, т. е. и;
3) жидкость баротропна, т. е. .
Тогда уравнение Ламба-Громеки запишем в виде:
. (9.2.5)
Легко видеть, что движение в рассматриваемом случае возможно, если силы потенциальные:,. (9.2.6)
Из (9.2.6) получаем интеграл Коши:. (9.2.7)
При этом уравнение непрерывности
, (9.2.8)
и уравнение состояния
. (9.2.9)
Итак, имеем систему из трех уравнений с неизвестными ,,р.
Пусть одновременно выполняются условия интегралов Бернулли и Коши:
1) жидкость идеальна;
2) движение установившееся;
3) движение потенциально
4) жидкость баротропна;
5) внешние силы потенциальны.
Тогда из уравнения Ламба-Громеки получаем интеграл Бернулли-Эйлера:
, (9.2.10) где
. (9.2.11)
Добавляя уравнение состояния вида (9.2.9) и уравнение непрерывности
, (9.2.12)
получаем систему уравнений для определения ,,р.
Если к условиям существования интеграла Бернулли-Эйлера добавить условие несжимаемости жидкости, то
; (9.2.13) для поля тяжести
. (9.2.14)
Для потенциальных движений несжимаемой жидкости уравнение непрерывности превращается в уравнение Лапласа:
, (9.2.15)
которое служит для определения при заданных граничных условиях.
32 Звуковые волны
Типичные случаи нестационарных течений жидкости – волновые движения, для которых характерны колебания отдельных частиц. Например, волны на поверхности жидкости, возникающие в результате того, что поверхность выведена из равновесия и колеблется под действием сил тяжести (такие волны принято называть гравитационными). При их изучении сжимаемость и вязкость не играют существенной роли, поэтому гравитационные волны описываются уравнениями нестационарных течений идеальной несжимаемой жидкости.
Упругими называют волны, возникающие во всей толще сжимаемой жидкости в результате расширения и сжатия ее частиц. Эти волны обусловлены упругими свойствами жидкости. Их частный случай – звуковые волны – малые колебательные движения, распространяющиеся в жидкости, вызванные попеременными малыми сжатиями и разрежениями.
Рассмотрим вопрос о волнах в жидкости, исходя из уравнений, описывающих ее движение. Упрощения:
1) массовых сил нет ();
2) движения потенциальны ();
3) скорости частиц жидкости малы (малые колебания);
4) изменения скорости при переходе от одной точки пространства к другой малы (т. е. малы величины типа , а также величина);
5) давление и плотность изменяются в малых пределах: ,, гдеи– давление и плотность для невозмущенной жидкости, и– малые добавки, зависящие от t и x, y, z. Тогда уравнение Эйлера:
(9.6.1)
Считая постоянными и, а также, получаем:
, (9.6.2) откуда
, (9.6.3)
где – произвольная функция времени. Поскольку потенциал определен с точностью до произвольной функции времени, уравнение движения звуковой волны (9.6.3) можно записать в виде:
. (9.6.4)
К этому уравнению добавим уравнение непрерывности:
. (9.6.5)
Учитывая, что ,– величина второго порядка малости, получим:(9.6.6)или. (9.6.7)
В (9.6.4) и (9.6.7) неизвестные . Добавим к этим уравнениям уравнение состояния - уравнение Пуассона, т. к. движение идеальной жидкости представляет собой адиабатический процесс:
или . (9.6.8)
Производя преобразования (см. подробнее в [1, с. 227]), находим:
. (9.6.9)
Уравнения (9.6.4), (9.6.7), (9.6.9) полностью описывают движение звуковых волн. Из них получаем волновое уравнение:
. (9.6.10)
Волновому уравнению удовлетворяют и другие переменные (и). Задача о распространении звуковой волны сводится к интегрированию этого уравнения.
Если рассматриваемые величины зависят только от t и х, то волна называется плоской. Волновое уравнение в этом случае:
. (9.6.11)
Интегрируя это уравнение с помощью метода характеристик (см. подробнее в [1, с. 228]), получаем:
, (9.6.12)
где и– произвольные функции. Изменения давления, плотности и скорости в плоской волне описываются такими же функциями, что и потенциал скорости. Например,
; (9.6.13)
при имеем. Если при этом, то плотность жидкости неизменна (а также неизменны давление, скорость, потенциал скорости). Значит, если в начальный момент времени плотность жидкости в точке 0 имела определенное значение, то такое же значение спустя времяt будет иметь плотность в точке на расстоянии ct от исходной вдоль оси 0х. Картина движения распространяется в жидкости вдоль оси 0х со скоростью звука с. Говорят, что функция представляет собой плоскую бегущую волну, распространяющуюся в положительном направлении оси 0х (– в противоположном направлении).
Если потенциал скорости , то скорость. Тогда,, т. е. скорость частицы много меньше скорости звука.
Скорость распространения волны определяется формулой Лапласа:
, (9.6.14)
что хорошо согласуется с экспериментальным значением скорости звука в воздухе.