- •2 Преобразования кинематических характеристик частицы при
- •3 Динамические характеристики частицы. Законы Ньютона
- •4 Принцип относительности Галилея. Механическая концепция
- •5 Уравнение движения частицы относительно исо. Принцип
- •6 Уравнение движения частицы относительно нисо. Силы
- •7 Принципы д¢Аламбера, виртуальных перемещений и
- •8 Обобщенные координаты и обобщенные силы
- •9 Уравнения Лагранжа (второго рода)
- •10 Принцип экстремального действия. Преимущество
- •11 Обобщенная энергия, обобщенный импульс и законы их
- •12 Центр инерции и законы сохранения импульса и момента
- •13 Связь законов сохранения со свойствами симметрии
- •14 Задача двух тел. Движение в центральном поле
- •15 . Задача Кеплера
- •16 Рассеяние частиц. Формула Резерфорда
- •17 Свободные и вынужденные одномерные колебания
- •18 Затухающие колебания
- •19 Вынужденные колебания при наличии трения
- •20 Кинематическое описание твердого тела. Углы Эйлера
- •21 Кинетическая энергия и момент импульса твердого тела
- •22 Уравнения движения твердого тела. Динамические уравнения Эйлера
- •23 Функция Гамильтона и канонические уравнения Гамильтона
- •24 Уравнение Гамильтона-Якоби. Теорема Якоби
- •25 Тензоры деформации и скоростей деформации
- •26 Закон сохранения массы и уравнение непрерывности
- •27 Поле скоростей и его характеристики
- •28 Силы, действующие в сплошных средах. Тензор напряжения
- •29 Необходимые уравнения движения сплошных сред
- •30 Уравнения движения идеальной жидкости
- •31 Интегралы уравнений движения идеальной жидкости
- •32 Звуковые волны
16 Рассеяние частиц. Формула Резерфорда
В предыдущем подразделе рассмотрено упругое рассеяние частиц, взаимодействующих только при столкновении. Рассмотрим подобную задачу для частиц, взаимодействующих на расстоянии, в случае, когда между ними действуют силы отталкивания.
В соответствии с общим правилом рассматриваем сначала эквивалентную задачу об отклонении одной частицы массой в поленеподвижного силового центра, расположенного в центре инерции системы частиц.
Рисунок 4.5.1
Траектория частицы в центральном поле симметрична по отношению к прямой, проведенной из полюса к ближайшей точке траектории (ОА на рисунке 4.5.1). Обе асимптоты траектории пересекают эту прямую под одинаковыми углами . Угол отклонения частицы при ее пролете мимо силового центра (рисунок 4.5.1
. (4.5.1)
Используя общую формулу (4.2.18), для угла запишем:
. (4.5.2)
Здесь интеграл берется между ближайшим к центру и бесконечно удаленным положениями частицы. При имеющем здесь место инфинитном движении удобно ввести вместо постоянных Е и L другие: скорость частицы на бесконечности и так называемое прицельное расстояние, на котором частица пролетела бы мимо центра, если бы силовое поле отсутствовало (рисунок 4.5.1). Энергия и момент импульса выражаются через эти величины:
, . (4.5.3)
Тогда. (4.5.4)
Вместе с (4.5.1), эта формула определяет зависимость от.
При рассеянии пучка одинаковых частиц, падающих на рассеивающий центр с одинаковой скоростью , разные частицы пучка имеют разные прицельные расстояния и, соответственно, разные углы рассеяния. Пусть– число частиц, рассеиваемых в единицу времени на углы в интервале. Еслиn – число частиц, проходящих в единицу времени через единицу площади поперечного сечения падающего (однородного по сечению) пучка, то величина
(4.5.5)
имеет размерность площади и называется дифференциальным сечением рассеяния. Эта величина всецело определяется видом рассеивающего поля и является важной характеристикой процесса рассеяния.
Считаем, что угол рассеяния – монотонно убывающая функция прицельного расстояния. Тогда в заданный интервал угловрассеиваются лишь те частицы, которые летят в интервале прицельных расстояний. Число таких частиц(произведениеn на площадь кольца с радиусами и). Тогда. (4.5.6)
Для нахождения зависимости отперепишем (4.5.6) в виде:
, (4.5.7)
или, используя телесный угол ,
. (4.5.8)
Заметим, что если функция многозначна, то подпонимают сумму таких выражений по всем ветвям функции.
Выражение (4.5.7) определяет дифференциальное сечением рассеяния в зависимости от угла рассеяния в системе центра инерции. Для нахождения дифференциального сечения в зависимости от угла рассеяния в л-системе необходимо выразитьчерезпо формулам (4.4.14). При этом получаются выражения как для сечения рассеяния падающего пучка, так и для первоначально покоившихся частиц.
Одно из важнейших применений полученных выше формул – рассеяние заряженных частиц в кулоновском поле. При интеграл в (4.5.4) берется:(4.5.9)
откуда. (4.5.10)
Учитывая, что , имеем:
. (4.5.11)
Дифференцируя по и подставляя в (4.5.7) или (4.5.8), находим:
(4.5.12) или. (4.5.13)
Это так называемая формула Резерфорда. Полученный результат не зависит от знака , т. е. применим как для поля отталкивания, так и для поля притяжения. Формулы (4.5.12) и (4.5.13) получены в ц-системе.
В л-системе для первоначально покоившихся частиц, подставляя в (4.5.12), получаем:
. (4.5.14)
Для двигавшихся первоначально частиц преобразование в общем случае дает громоздкую формулу для . Приимеем,и, (4.5.15)
где – энергия двигавшейся первоначально частицы. Приимеем,и
(4.5.16)
Если не только массы равны, но и частицы тождественны, то не имеет смысла различать после рассеяния первоначально двигавшиеся и покоившиеся частицы. Общее дифференциальное сечение рассеяния для всех частиц в этом случае
(4.5.17)
где – общий угол рассеяния.
С помощью общей формулы (4.5.12) можно получить также выражение для дифференциального сечения рассеяния как функции потери энергии (см. подробнее в [2, с. 69]):. (4.5.18)
Заметим, что вычисление дифференциального сечения рассеяния значительно упрощается для больших прицельных расстояний (поле слабое и углы отклонения малы).