- •2 Преобразования кинематических характеристик частицы при
- •3 Динамические характеристики частицы. Законы Ньютона
- •4 Принцип относительности Галилея. Механическая концепция
- •5 Уравнение движения частицы относительно исо. Принцип
- •6 Уравнение движения частицы относительно нисо. Силы
- •7 Принципы д¢Аламбера, виртуальных перемещений и
- •8 Обобщенные координаты и обобщенные силы
- •9 Уравнения Лагранжа (второго рода)
- •10 Принцип экстремального действия. Преимущество
- •11 Обобщенная энергия, обобщенный импульс и законы их
- •12 Центр инерции и законы сохранения импульса и момента
- •13 Связь законов сохранения со свойствами симметрии
- •14 Задача двух тел. Движение в центральном поле
- •15 . Задача Кеплера
- •16 Рассеяние частиц. Формула Резерфорда
- •17 Свободные и вынужденные одномерные колебания
- •18 Затухающие колебания
- •19 Вынужденные колебания при наличии трения
- •20 Кинематическое описание твердого тела. Углы Эйлера
- •21 Кинетическая энергия и момент импульса твердого тела
- •22 Уравнения движения твердого тела. Динамические уравнения Эйлера
- •23 Функция Гамильтона и канонические уравнения Гамильтона
- •24 Уравнение Гамильтона-Якоби. Теорема Якоби
- •25 Тензоры деформации и скоростей деформации
- •26 Закон сохранения массы и уравнение непрерывности
- •27 Поле скоростей и его характеристики
- •28 Силы, действующие в сплошных средах. Тензор напряжения
- •29 Необходимые уравнения движения сплошных сред
- •30 Уравнения движения идеальной жидкости
- •31 Интегралы уравнений движения идеальной жидкости
- •32 Звуковые волны
24 Уравнение Гамильтона-Якоби. Теорема Якоби
Наряду с обыкновенными дифференциальными уравнениями Лагранжа и Гамильтона, существует уравнение в частных производных, описывающее движение механической системы в поле обобщенно-потенциальных сил при наличии голономных идеальных связей – уравнение Гамильтона-Якоби. Ранее было показано, что,k = 1, 2, ..., s, (7.6.1)
и . Заменяя в (7.6.1) импульсы производными от действия по координатам, получаемуравнение Гамильтона-Якоби, которому удовлетворяет функция действия :
, k = 1, 2, ..., s, (7.6.2)
Уравнение Гамильтона-Якоби также служит основой для некоторого общего метода интегрирования уравнений движения.
Как известно, всякое дифференциальное уравнение в частных производных первого порядка имеет решение, зависящее от произвольной функции – так называемый общий интеграл уравнения. В механических применениях основную роль играет, однако, не общий интеграл уравнения Гамильтона-Якоби, а полный интеграл – решение дифференциального уравнения в частных производных, содержащее столько независимых произвольных постоянных, сколько независимых переменных в уравнении.
В уравнении Гамильтона-Якоби независимые переменные . Для системы сs степенями свободы полный интеграл этого уравнения должен содержать (s + 1) произвольных постоянных. Поскольку функция S входит в уравнение только через свои производные, то одна из произвольных постоянных содержится в полном интеграле аддитивным образом, т. е. вид полного интеграла уравнения Гамильтона-Якоби:
, (7.6.3)
где – произвольные постоянные.
Для выяснения связи между полным интегралом уравнения Гамильтона-Якоби и решением уравнений движения произведем каноническое преобразование от величин ик новым переменным, причем функциювыберем в качестве производящей функции, а величины– в качестве новых импульсов. Новые координаты обозначим. Поскольку производящая функция зависит от старых координат и новых импульсов, используем формулы:
(7.6.4)
Функция f удовлетворяет уравнению Гамильтона-Якоби, поэтому
, (7.6.5)
и канонические уравнения в новых переменных имеют вид:
, (7.6.6)
откуда. (7.6.7)
С другой стороны s уравнений дают возможность выразитьs координат через время и 2s постоянных и. Тем самым находится общий интеграл уравнения движения.
Изложенное выше обобщает теорема Якоби: если некоторая функция является полным интегралом уравнения Гамильтона-Якоби, то решение канонических уравнений Гамильтона определяется следующими соотношениями:
, k = 1, 2, ..., s, (7.6.8)
где и– произвольные постоянные.
Первые соотношения (7.6.8) определяют обобщенные импульсы как функции координат и времени: ; вторые соотношения (7.6.8) дают интегралы канонических уравнений вида, разрешая которые относительно, находим обобщенные импульсы как функции времени и 2s независимых постоянных: .
Используя теорему Якоби, можно решить задачу о движении механической системы с обобщенно-потенциальными силами и идеальными голономными связями следующим образом: по известной функции Гамильтона составляем уравнение Гамильтона-Якоби, а затем находим полный интеграл этого уравнения вида (7.6.3) с последующим использованием уравнений (7.6.8).
Если мы имеем неполный интеграл уравнения Гамильтона-Якоби, зависящий от числа произвольных постоянных меньше s, то, хотя с его помощью и нельзя найти общий интеграл уравнений движения, можно все же несколько упростить задачу его нахождения. Так, если известна функция S, содержащая одну произвольную постоянную , то соотношение
(7.6.9)
дает одно уравнение, связывающее .
Уравнение Гамильтона-Якоби упрощается для случая явной независимости H от t (например, для консервативной системы). Зависимость действия от времени сводится при этом к выражению
, (7.6.10)
и для укороченного действия уравнение Гамильтона-Якоби имеет вид:
, k = 1, 2, ..., s. (7.6.11)
Заметим, что физические допущения, лежащие в основе уравнений Гамильтона и уравнения Гамильтона-Якоби, одинаковы. Но основной метод решения уравнения Гамильтона-Якоби (метод разделения переменных) включает в себя как частный случай метод циклических координат Лагранжа, и при рассмотрении уравнения Гамильтона-Якоби наиболее естественно вскрывается достаточно глубокая аналогия между механикой частицы и волновым процессом, играющая важную роль при обсуждении волнового аспекта квантовомеханических явлений.