20 Кинематическое описание твердого тела. Углы Эйлера

Твердое тело можно определить в механике как непрерывную систему материальных точек, расстояния между которыми неизменны (это модель, абстракция). Непрерывность тела предполагает рассмотрение не отдельной материальной точки массой , а элемента объемамассой, что заменяет операцию суммирования интегрированием по объему (или массе) тела.

Для описания движения твердого тела введем две системы координат: «неподвижную» инерциальную и движущуюся, которая предполагается жестко связанной с телом и участвующей во всех его движениях (рисунок 6.1.1). Начало 0 движущейся СК удобно совместить с центром инерции тела. Положение твердого тела относительно неподвижной СК вполне определяется заданием положения подвижной СК.

Рисунок 6.1.1

Пусть радиус-вектор указывает положение начала 0 движущейся СК. Ориентация осей последней относительно неподвижной СК определяется тремя независимыми углами, которые с тремя компонентами векторадают шесть независимых координат.

Таким образом, всякое твердое тело представляет собой механическую систему с шестью степенями свободы (если его движение не ограничено дополнительными условиями).

Произвольное бесконечно малое перемещение твердого тела можно представить как совокупность бесконечно малого параллельного переноса системы (перемещение центра инерции) и бесконечно малого поворота системы(относительно центра инерции). Заметим, что специфические свойства начала координат как центра инерции в кинематике не используются, т. е. точку 0 можно связать с любой точкой тела. Итак,

, (6.1.1)

где и– элементарные приращения (изменения) векторови,– вектор, модуль которого численно равен углу поворота СК системы(или вектора, неподвижного относительно этой СК) относительно перпендикулярной плоскости углаоси, проходящей через точку 0. Вводя скорости:

, ,, (6.1.2)

получаем соотношение между ними:

. (6.1.3)

Здесь – скорость т. 0 относительно т.(скорость поступательного движения твердого тела),– угловая скорость вращения твердого тела,– скорость сложного движения определенной фиксированной точки тела.

Если перенести начало 0 в другую точку твердого тела так, что, то. (6.1.4)

С другой стороны, по определению должно быть

. (6.1.Отсюда заключаем, что

, . (6.1.6)

Последнее равенство свидетельствует о том, что угловая скорость вращения жестко связанной с телом СК не зависит от выбора этой системы. Все такие системы вращаются в данный момент времени вокруг параллельных друг другу осей с одинаковой угловой скоростью . Поэтому можно называть величинуугловой скоростью твердого тела как такового. Скорости же поступательного движения такой «абсолютный» характер не присущ.

Из первой формулы (6.1.6) видно, что если ив данный момент времени взаимно перпендикулярны при каком-либо выборе начала координат 0, то они (т. е.и) взаимно перпендикулярны и при любом другом начале координат. Из (6.1.3) видно, что в этом случае скоростивсех точек тела перпендикулярны к. При этом всегда можно выбрать такое начало(возможно и вне тела), скорость которогов данный момент времени. Тогда движение твердого тела в данный момент может быть представлено как чистое вращение вокруг оси, проходящей через т.. Эту ось называют мгновенной осью вращения.

В общем случае не взаимно перпендикулярных направлений иначало координат можно выбрать так, чтобыистали параллельными, т. е. движение в данный момент времени будет совокупностью вращения вокруг некоторой оси и поступательного движения вдоль нее же. При движении тела могут, вообще говоря, меняться как модуль вектора, так и направление оси вращения.

При вращении твердого тела вокруг неподвижной оси меняется только угол – тело имеет одну степень свободы (рисунок 6.1.2).

Рисунок 6.1.2

Кинематическое уравнение движения в этом случае

. (6.1.7)

Тогда ,, угловое ускорение. Для определенной точки тела (для элемента массы) тангенциальное ускорение, нормальное ускорение.

Рассмотрим более сложное движение тела относительно неподвижной точки. В механике твердого тела важное значение имеет теорема Эйлера: всякое мгновенное движение твердого тела можно представить как результат мгновенного поступательного движения произвольно выбранной точки и мгновенного вращательного движения вокруг мгновенной оси вращения, проходящей через эту точку. Собственно, об этом уже было сказано выше, только другими словами.

Из теоремы Эйлера следует, что в любой момент времени в теле можно провести прямую, проходящую через неподвижную точку так, что все точки прямой в этот момент времени неподвижны, т. е. прямая – мгновенная ось вращения. Целесообразно

поэтому совместить с неподвижной точкой начала обеих СК (неподвижной и жестко связанной с телом подвижной) и рассматривать вращательное движение подвижной СК с угловой скоростью , направленной вдоль мгновенной оси, проходящей через начало координат.

Пусть – неподвижная СК,– подвижная СК с ортами(рисунок 6.1.1).

Скорость любой точки твердого тела. (6.1.8)

Тогда=. (6.1.9)Отсюда(6.1.10)

Формулы (6.1.10) применимы и при движении начала подвижной СК.

Таким образом, если известны координаты твердого тела в СК, связанной с ним, и проекции угловой скорости на оси этой СК, то можно вычислить скорость рассматриваемой точки. Для нахождения величин нужно знать закон движения СКотносительно СК, т. е. зависимость от времени трех угловых координат, характеризующих вращение подвижной СК. Наиболее удобны в этом плане углы Эйлера (рисунок 6.1.3).

Угол прецессии (плоскость угла перпендикулярна оси) меняется при повороте СКотносительно оси. Угол собственного вращения(плоскость угла перпендикулярна оси) меняется при повороте СКотносительно оси. Угол нутации– угол между осямии. Углы Эйлера независимы и могут служить угловыми координатами, характеризующими вращательное движение СКотносительно СК.

Рисунок 6.1.3

Прямая – линия узлов – линия пересечения координатных плоскостейи. Кинематические уравнения движения:

, ,. (6.1.11)

Считая эти уравнения известными, найдем . Представим вектор угловой скорости как сумму трех векторов:

, (6.1.12)

где,,. (6.1.13)

Последнее очевидно из взаимного расположения векторов , каждый из которых характеризует быстроту изменения соответствующего угла Эйлера. Тогда

(6.1.14)

Несложно убедиться, что

...(6.1.15)

Здесь учтено, что – проекция векторана плоскость. Подставляя (6.1.15) в (6.1.14) с учетом (6.1.13), получаем кинематические формулы Эйлера:

(6.1.16)