11 Обобщенная энергия, обобщенный импульс и законы их

сохранения

При движении механической системы величини, определяющих ее состояние, изменяются со временем. Но существуют функции этих величин, сохраняющие при движении системы постоянные значения, зависящие только от начальных условий. Эти функции называютинтегралами движения. Динамические уравнения механики, основанные на законах Ньютона, приводят к первым интегралам движения или к законам сохранения энергии, импульса и момента импульса. Уравнения Лагранжа, описывающие движение системы в обобщенных координатах, также приводят к сохранению некоторых величин, носящих название обобщенной энергии и обобщенных импульсов.

Рассмотрим механическую систему, в которой действуют обобщенно-потенциальные силы, т. е. силы, удовлетворяющие условию

(3.1.1.)

где – обобщенный потенциал. Уравнения Лагранжа в этом случае имеет вид:

(3.1.2)

Умножив каждое из уравнений (3.1.2) на соответствующую обобщенную скорость и просуммировав результаты, после преобразований (см. подробнее в [4, с. 193–194]) получим:

. (3.1.3)

Функция

(3.1.4)

называется обобщенной энергией системы (функцией Гамильтона или гамильтонианом).

Итак, (3.1.3) можно переписать в виде:

. (3.1.5)

Это еще одна форма записи уравнений Лагранжа. Отсюда следует закон сохранения обобщенной энергии: если функция Лагранжа явно от времени не зависит, то обобщенная энергия системы сохраняется во времени:

(3.1.6)

В частности, для консервативных сил можно показать (см. [4, с. 194]), что обобщенная энергия равна полной механической энергии системы, которая сохраняется, т. е. закон сохранения механической энергии – частный случай закона сохранения обобщенной энергии.

Величину(3.1.7)

называют обобщенным импульсом, соответствующим обобщенной координате . Тогда уравнения Лагранжа (3.1.2) можно переписать в виде:

(3.1.8)

Лагранжиан может быть независимым от некоторых обобщенных координат, которые в этом случае называют циклическими. С каждой такой координатой связан первый интеграл движения. Закон сохранения обобщенного импульса: если обобщенная координата циклическая, то соответствующий ей обобщенный импульс сохраняется:

. (3.1.9)

В частном случае консервативных сил при иимеем, и вид уравнений Лагранжа простой:, (3.1.10) где– обобщенная сила.

Заметим, что для системы, свободной от связей, в качестве обобщенных координат можно выбрать декартовы координаты частиц системы. В этом случае обобщенные скорости – производные этих координат по времени. Но при обобщенно-потенциальных силах обобщенные импульсы отличаются от обычных импульсов вида и в декартовых координатах. В самом деле, если, то; в декартовых координатах, а в векторной форме записи имеем:. Таким образом, в поле обобщенно-потенциальных сил может сохраняться та или иная составляющая не обычного, а обобщенного импульса, при условии равенства нулю соответствующей проекции силы. Обобщенный импульс совпадает с обычным только тогда, когда обобщенный потенциал совпадает с потенциальной энергией.