15 . Задача Кеплера

Частный случай задачи о движении частицы в центральном поле – задача о движении в поле притяжения кулоновского типа (например, задача о движении в поле тяготения). В этом случае , где. Найдем траекторию частицы массойв таком поле в дифференциальной и интегральной формах.

Известно, что в рассматриваемом случае

(4.3.1)

Тогда функцию Лагранжа можно представить в виде:(4.3.2)

т. е. рассматривается движение частицы с обобщенной координатой и обобщенной скоростьюв поле с потенциалом. Подставляя (4.3.2) в уравнение Лагранжа, получаем:

(4.3.3)

Заметим, что (4.3.3) можно получить и непосредственным дифференцированием механической энергии по времени (учитывая, что). Учтем далее, чтои(4.3.4)

Тогда из (4.3.3) находим:

(4.3.5) или

(4.3.6)

где – проекция силына направление. Обозначим. При этоми

(4.3.7)(4.3.8)

Это формула Бине – дифференциальной уравнение траектории при заданной силе. Если , то

(4.3.9)

знак показывает, что это сила притяжения. Дифференциальное уравнение траектории в поле притяжения кулоновского типа:

(4.3.10)

Постоянная зависит от масс (зарядов) тел и выбора системы единиц.

Учитывая, что

(4.3.11)

где – удвоенная секториальная скорость, для любого поля притяжения кулоновского типа имеем:

(4.3.12)

В частности, для поля тяготения

(4.3.13)

где – гауссова постоянная,– постоянная тяготения,– масса тела, в поле тяготения которого движется частица массой(телонеподвижно).

Для описания движения двух тел с массами ив системе их центра инерции используют понятие изображающей точки с массой, расстояние которой от центра инерции. Уравнение траектории этой точки(4.3.14) или(4.3.15)

Это неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка, общее решение которого

(4.3.16)

где и– произвольные постоянные,– общее решение соответствующего (4.3.15) однородного уравнения,– частное решение (4.3.15). Тогда(4.3.17)

В полярных координатах уравнение конического сечения

(4.3.18)

где – параметр кривой,– эксцентриситет. Итак, в поле тяготения (в поле притяжения кулоновского типа) частица (или изображающая точка для замкнутой системы двух частиц) движется по траектории, представляющей собой одно из конических сечений. В нашем случае

(4.3.19)

Вид траектории определяют константы и, причем, а полная энергияопределяет величину.

Заметим, что интегральное уравнение траектории можно легко получить из (4.3.18), подставляя и интегрируя:

(4.3.20)

Если , то

(4.3.21)

что при ,,совпадает с (4.3.17); при этом

(4.3.22)

(4.3.23)

Постоянная задает положение траектории на плоскости; приточка с– ближайшая к полюсу (перигелий орбиты).

При эксцентриситет, траектория – эллипс; если его полуосии, то параметр, площадь, секториальная скорость, где– период (время одного полного оборота частицы). Точкии– соответственноперигелий и афелий (для спутника Земли – перигей и апогей).

Используя известные формулы аналитической геометрии, выразим полуоси эллипса:

(4.3.24)

(4.3.25)

Наименьшее и наибольшее расстояния от центра поля (фокуса эллипса):

(4.3.26)

Зная , вычислитьиможно легко (эти величины могут быть найдены также как корни уравнения). Период движения изображающей точки по эллипсу определяется энергией:

(4.3.27)

В частном случае движения по окружности .

При движение инфинитное (– парабола,– гипербола). Гиперболической траектории соответствует энергия. При этом расстояние перигелия от центра поля

, (4.3.28)

где «полуось» орбиты. (4.3.29)

Для параболической траектории ,и

(4.3.30)

Последний случай может осуществляться, если частица (изображающая точка) начинает движение из состояния покоя на бесконечности.

Вычислим теперь скорость движения изображающей точки в разных местах траектории (конического сечения). В полярных координатах

. (4.3.31)

Учитывая, что ,, находим:

. (4.3.32)

Используя уравнение для, получаем:

. (4.3.33)

Для эллипса . Исследуя на экстремум выражение

, (4.3.34)

находим:

при, (4.3.35)

при . (4.3.35)

Для параболы ,

, (4.3.36)

при , (4.3.37)

при . (4.3.38)

Для гиперболы , при этом и в случае.