- •2 Преобразования кинематических характеристик частицы при
- •3 Динамические характеристики частицы. Законы Ньютона
- •4 Принцип относительности Галилея. Механическая концепция
- •5 Уравнение движения частицы относительно исо. Принцип
- •6 Уравнение движения частицы относительно нисо. Силы
- •7 Принципы д¢Аламбера, виртуальных перемещений и
- •8 Обобщенные координаты и обобщенные силы
- •9 Уравнения Лагранжа (второго рода)
- •10 Принцип экстремального действия. Преимущество
- •11 Обобщенная энергия, обобщенный импульс и законы их
- •12 Центр инерции и законы сохранения импульса и момента
- •13 Связь законов сохранения со свойствами симметрии
- •14 Задача двух тел. Движение в центральном поле
- •15 . Задача Кеплера
- •16 Рассеяние частиц. Формула Резерфорда
- •17 Свободные и вынужденные одномерные колебания
- •18 Затухающие колебания
- •19 Вынужденные колебания при наличии трения
- •20 Кинематическое описание твердого тела. Углы Эйлера
- •21 Кинетическая энергия и момент импульса твердого тела
- •22 Уравнения движения твердого тела. Динамические уравнения Эйлера
- •23 Функция Гамильтона и канонические уравнения Гамильтона
- •24 Уравнение Гамильтона-Якоби. Теорема Якоби
- •25 Тензоры деформации и скоростей деформации
- •26 Закон сохранения массы и уравнение непрерывности
- •27 Поле скоростей и его характеристики
- •28 Силы, действующие в сплошных средах. Тензор напряжения
- •29 Необходимые уравнения движения сплошных сред
- •30 Уравнения движения идеальной жидкости
- •31 Интегралы уравнений движения идеальной жидкости
- •32 Звуковые волны
25 Тензоры деформации и скоростей деформации
Рассмотрим деформацию малой частицы сплошной среды, имеющей первоначально шаровую форму. Деформация определяется вектором
, (8.3.1)
т. е. если до деформации радиус-вектор точки был , то после деформации. Относительные координаты точки до деформации, а после деформации
(8.3.2)
Эти формулы несложно вывести, зная f. Т. к. деформации малые, то соответствующие относительные координаты до и после деформации отличаются незначительно. Тогда(8.3.3) и
8.3.4)
Таким образом, если точки малой частицы сплошной среды располагались сначала на сфере радиусом А, уравнение которой
, (8.3.5)
то после деформации они перейдут на поверхность второго порядка, уравнение которой (с точностью до членов второго порядка малости) запишется в виде:
(8.3.6)
Это так называемый эллипсоид деформации. Если оси координат совпадают с осями этого эллипсоида (с главными осями эллипсоида деформации), то (8.3.6) принимает вид:
(8.3.7)
где – относительные удлинения отрезков, параллельных осям новой СК. Новые оси замечательны тем, что смещения частиц, расположенных первоначально на этих осях, происходят только вдоль этих осей, т. е. точки на главных осях до деформации остаются на этих осях и после деформации.
Вектор деформации определяется шестью компонентами деформации, которые записаны в переменных Лагранжа.
Рассмотрим движение сплошной среды с точки зрения переменных Эйлера и выразим через них компоненты деформации. Для малых деформаций ,,.Относительные удлинения:
(8.3.8)
а для сдвигов запишем:
(8.3.9)
Таким образом, все компоненты деформации – функции координат x, y, z точек пространства. Покажем, как изменяются эти компоненты при изменении СК xyz на СК . Учитывая, что
(8.3.10) и используя то, что скалярное произведение
(8.3.11) не зависит от выбора СК, можно получить:
. (8.3.12)
Вводя обозначения: ,,и т. д.; а также,,,,,, можно представить формулы преобразований координат в виде:
(l, k = 1, 2, 3). (8.3.13)
Величины Ф, зависящие от x, y, z и удовлетворяющие (8.3.13), образуют афинный ортогональный тензор второго ранга – тензор деформации:
. (8.3.14)
Этот тензор в каждой точке пространства характеризует деформацию сплошной среды, окружающей данную точку. Если выбраны вдоль главных осей деформации, то тензор диагональный:
. (8.3.15)
Если смещение точки малой частицы , где, то для скоростей запишем:, где– скорость поступательного движения частицы, – вращательная скорость частицы относительно начала СК, – скорость деформации. Тогда естественно обозначить:
(8.3.16) В этом случае
. (8.3.17)
Величины – компоненты скоростей деформации. Тогда можно построить тензор скоростей деформации:
. (8.3.18)