Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

3750

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.11.2022

Размер:

13.52 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 219 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

Пример 9. Разложить в ряд Тейлора по степеням z 3 ,

т.е. в окрестности точки z0									3 , функцию									f	z		1		.


																			3			2z
	Решение. Преобразуем данную функцию:
1						1							1						1			1		.

	3 2z 3 2 z 3 3											3 2 z 3							3 1		2	z 3
	3 2z 3 2 z 3 3											3 2 z 3									2
																					3
																					3
Заменяя в разложении (4.12)										z на				2	z 3 , получим
Заменяя в разложении (4.12)										z на			3		z 3 , получим
													3
	1		1	1			2	z 3			22		z 3 2				23			z 3 3
				1				z 3		32			z 3 2				33			z 3 3
	3 2z		3			3				32							33
		1 2					z 3		22			z 3 2				23		z 3 3				.
					32		z 3		33			z 3 2						z 3 3				.
3					32				33				34

Этот ряд представляет собой бесконечную геометрическую

прогрессию со знаменателем

3 ,

поэтому он схо-

дится при

z 3

1 или

, т.е. радиус сходимо-

сти ряда R

3 2 .

Пример 10. Разложить

ln 2

z2 в окрестно-

сти точки z

0 в ряд Тейлора.

Решение. Преобразуем данную функцию:

ln 2 z z2

ln 1 z 2 z

ln 1 z

ln 2 z

ln 1 z

ln 2 1

ln 1 z

ln 2 ln 1

Первое слагаемое раскладываем в ряд по формуле (4.10), второе слагаемое является постоянной, третье слагаемое раскла-

дываем в ряд по формуле (4.10), заменяя в ней

на

. По-

лучаем

ln 2 z z2

ln 2

2 22

3 23

ln 2

n 1 zn

ln 2

n 1 n2n

n 1

Ближайшей к точке z 0 особой точкой данной функции является точка z 1, поэтому радиус сходимости полученного ряда R 1 .

Пример 11. Найти несколько первых членов разложения

в ряд по степеням z

функции

tg z

и найти радиус схо-

димости ряда.

Решение. Пусть искомый ряд имеет вид

f z

c z c z2

c z3

где коэффициенты cn

находим по формуле (4.9)

n 0

tg 0

0 .

Найдем производные f

. Имеем

или

f 2 z

(1*)

cos2 z

2 f

z f

2 f 2 z

f z f

z ,

f IV

3 f

z f

(2*)

f V z

2 3 f 2 z

4 f

z f

f z f IV z

...............................................................................

Полагая в (1) и (2)	z	0 , найдем
f 0 1, f 0 0 ,	f	0 2 , f IV 0 0 , f V 0 16 ,

Подставляя найденные значения производных в ряд, получим

tg z z	2	z	3	16	z	5

	3!			5!
	3!			5!

Ближайшей к точке z 0 особой точкой данной функции является точка z 2 , поэтому радиус сходимости полученного

ряда R 2 .

4.4. Ряды Лорана

Рядом Лорана называется ряд вида

c n

c 2

c 1

c1 z

c2 z

cn z

(4.13)

где z0 – фиксированная точка комплексной плоскости, а cn – коэффициенты ряда Лорана (заданные комплексные числа).

Теорема Лорана. Если функция f z однозначна и аналитична в кольце 0 r z z0 R , то в этом кольце она пред-

ставима

сходящимся рядом

Лорана:

n ,

причем это представление единственно; а коэффициенты

однозначным образом определяются равенствами

dz ,

R ,

0, 1,

(4.14)

2 i

n 1

z z

На практике при нахождении коэффициентов

стара-

ются избегать применения формул (4.14), так как они приводят к громоздким выкладкам. Обычно, если это возможно, исполь-

зуются готовые разложения в ряд Тейлора элементарных функций.

Если функция f z аналитична в круге z z0 R , то разложение f z в ряд Лорана в этом круге представляет собой разложение f z в ряд Тейлора – в этом разложении отсутствуют слагаемые, содержащие отрицательные степени

zz0 .

Ввыражении (4.13) ряд

c n

c 2

c 1

cn z

(4.15)

называется главной частью ряда Лорана, а ряд

cn z

(4.16)

n 0

называется правильной частью ряда Лорана.

Пример 12.

Разложить функцию

в ряд

1 2

Лорана в кольце 0

2 .

Решение. Преобразуем данную функцию следующим об-

разом:

z2 1

4 z

(1*)

1 2

4 z

1 2

Первые два слагаемых в правой части (*) имеют нужный вид, так как представляют собой степени разности z 1 . Последние два слагаемых запишем в виде

1	1		1		1	,	1		1	1	z 1
z 1	z 1	2 2		1	z 1	,	z 1 2	4		1	2
z 1	z 1	2 2			z 1		z 1 2	4			2
					2
					2

Применяя формулу (4.12), а затем формулу (4.11) при получим

1		1	1			z 1				z 1 2				z 1 3		,

z	1	2			2				2					2
z	1	2			2				2					2
	1			1	1		2	z	1		2	2		1 z		1 2
z	1 2			4	1		2		2			2!			2
			2		2		1		2		2		z	1 3		.
							3!						2			.
							3!						2

Подставляя (2*) и (3*) в (1*), найдем

f z		1		1		1	1		1

	z	2	2	4	z	1 2		4 z	1
		2	2	4	z	1 2		4 z	1
			1

2 ,

(2*)

(3*)

						1	1		z	1 z				1 2			z	1 3
						8	1		2					2			2
						8			2					2			2
				1		1 z 1					3			z 1 2			4	z 1 3
			16			1 z 1				22				z 1 2		23		z 1 3
			16							22						23
	1 1				1 1					3 1				z 1		5		z 1 2		3	z 1 3

	4 z 1 2					4 z 1 16 8										64				64
	4 z 1 2					4 z 1 16 8										64				64
		Пример 13. Разложить функцию																f	z	z cos		z		в ряд

																						z 4
Лорана в окрестности точки z0															4 .
		Решение. Преобразуем данную функцию:
z cos			z		z 4			4 cos				z		4	4		z	4	4	cos 1				4
z cos		z	4		z 4			4 cos						4			z	4	4	cos 1			z	4
		z	4										z	4									z	4

																		4					4					.	(*)
			z	4			4				cos1cos									sin1sin
			z	4			4				cos1cos					z		4		sin1sin					z	4
Для любого комплексного													имеем
		2		4							6												3			5			7
cos	1												;					sin
cos	1	2!		4!			6!						;					sin					3!			5!			7!
		2!		4!			6!																3!			5!			7!
Полагая		4				и подставляя в (*), получим

			z	4
			z	4
f	z	cos1				z	4				4	1						42					44
f	z	cos1				z	4				4	1			2! z				4 2			4! z				4 4
															2! z				4 2			4! z				4 4
	sin1		z	4			4				4							43					45
	sin1		z	4			4			z		4		3! z					4	3	5! z 4 5
										z		4		3! z					4	3	5! z 4 5
	cos1 z			4				4 cos1					sin1							cos1			sin1			16

																				2							z		4
	cos1				sin1						32						cos1			sin1			128

				3					z		4 2							4						3 z		4 3
				3					z		4 2							4						3 z		4 3
Это разложение справедливо для любой точки z																												4 . В данном

случае «кольцо» представляет собой всю комплексную плос-

кость с одной выколотой точкой

4 , поэтому «кольцо» оп-

ределяется следующим образом:

z 4

Пример 14.

Рассмотреть

различные разложения в ряд

Лорана функции

по степеням z ( z0

0 ).

z z2

Решение. Разложим знаменатель на линейные множите-

ли и представим

z в виде суммы двух дробей:

f z

(1*)

1 z 2

2 z

Видно, что функция имеет две особые точки: z1 1 и z2								2 .
Следовательно,		имеются три			«кольца» с		центром в	точке
z0 0 , в каждом из которых f					z аналитическая (рис. 4.1):
I. круг	z	1;
I. круг	z	1;

II. кольцо 1			z	2 ;

III. 2	z		– внешность круга			z	2 .

Найдем ряды Лорана для функции в каждом из этих «колец». I. Используя формулу (4.12), получим

						1		1		z		z2		z3			zn ,				(2*)

						1 z
						1 z										n	0
																n	0
1				1				1		1	z		z2		z3			1 n zn	.		(3*)
										1									.		(3*)
	2 z	2 1					z	2			2		4		8		n 0	2n 1
		2 1				2											n 0
						2
Условие сходимости ряда (2*)														z	1 и условие сходимости ря-
Условие сходимости ряда (2*)														z	1 и условие сходимости ря-
да (3*)			z		1	или			z	2	выполняются в области I (									z		1).



			2
			2

Подставляя (2*) и(3*) в (1*), получим разложение функции f z в области I:

f z

1 n

zn .

n 0 2n 1

3 n 0

2n 1

n 0

Видим, что получился ряд Тейлора. Это является следствием того, что область I представляет собой круг.

II. В этой области 1 z 2 , поэтому условие сходимости

ряда (3*) выполняется, а для ряда (2*) нарушается. Преобразуем первую дробь и разложим ее в ряд следующим образом:

1		1		1	1	1 1			1			1		. (4*)
			1		1			2			3		n	. (4*)
1 z				z		z	z	2		z	3	n 1 z	n
1 z	z	1		z		z
	z	1	z
			z

Этот ряд сходится для

1, т.е. при

1 . Подставляя (4*) и

(3*) в (1*), получим разложение функции

f z

в области II:

f z

1 n

zn .

n 1 zn

n 0 2n 1

3 n 1 zn

6 n 0

Видим, что для кольца ряд Лорана содержит и правильную и главную части.

III. В этой области z 2 , поэтому условие сходимости

ряда (4*) выполняется, а для ряда (3*) нарушается. Преобразуем вторую дробь и разложим ее в ряд следующим образом:

1 n 1 2n 1

. (5*)

z 2

z 1

n 1

Этот ряд сходится для

1, т.е. при

2 . Подставляя (4*) и

(5*) в (1*), получим разложение функции

f z

в области III:

1 n 1 2n 1

1 n 1 2n 1 1

n 1 zn

n 1

3zn

Видим, что для бесконечного кольца ряд Лорана содержит только главную часть.

Этот пример показывает, что для одной и той же функции f z ряд Лорана, вообще говоря, имеет разный вид для раз-

ных областей.

III

-2

Рис. 4.1

Рис. 4.2

Пример 15.

Рассмотреть

различные разложения

в ряд

Лорана функции f

по степеням z

( z0

2i ).

Решение. Разложим знаменатель на линейные множите-

ли и представим

в виде суммы двух дробей:

f z

(1*)

z 2i

Видно, что функция имеет две особые точки:

2i и z2

. Следовательно, имеются три «кольца» с

центром в

точке

z0 3 2i , в каждом из которых функция

f z

аналитична

(рис. 4.2):

I. круг

3 (радиус первой окружности);

II. кольцо 3

5 (радиус второй окружности);

III. 5

– внешность круга

5 .

Найдем ряды Лорана для функции в каждом из этих «колец», используя формулу (4.12).

I. Преобразуем дроби в (1*) и разложим их в ряд:

								1											1						1										1

						z 2i										z 3 2i					3 4i						3 4i				1			z		3		2i
						z 2i										z 3 2i					3 4i						3 4i
																																			3		4i
																																			3		4i
					1					1					z 3 2i						z 3 2i 2										z 3 2i							3		,		(2*)
				3			4i			1					3		4i				3	4i											3		4i					,		(2*)
													1							1					1								1

											z				2i		z		3		2i	3			3 1					z 3					2i
											z				2i		z		3		2i	3
																																	3
																																	3
						1		1						z		3	2i			z	3	2i			2				z				3		2i			3		,		(3*)
					3			1								3					3												3							,		(3*)
					3											3					3												3
Так как							z			3				2i			z 3 4i					3			1 и				z				3		2i				3	1 в круге
							z			3				2i			z 3 4i					3

								3				4i							5			5											3					3
								3				4i							5			5											3					3
	z	3		2i					3, то ряды (2) и (3) сходятся в области I. Подста-
	z	3		2i					3, то ряды (2) и (3) сходятся в области I. Подста-
вив (2) и(3) в (1*), получим разложение функции f																																								z		в об-
ласти I:
	f z							1									1 n			z 3 2i						n 1									1 n			z 3 2i n

						3 4i n 0 3 4i n																						3 n 0							3n
						3 4i n 0 3 4i n																						3 n 0							3n
																1 n			3 4i n 1						1							z 3 2i n .
											n		0			1 n			25							3n 1						z 3 2i n .
																			25							3n 1

			II. В кольце													3		z	3		2i		5 для знаменателей геометри-
			II. В кольце													3		z	3		2i		5 для знаменателей геометри-
ческих					прогрессий												получаем							z	3			2i							z	3			4i		5	1 и
																								z	3			2i							z	3			4i		5
																									3 4i											5				5
																									3 4i											5				5
	z	3		2i						5				1, поэтому ряд (2*) сходится в этой области, а
	z	3		2i						5

		3								3
		3								3

ряд (3*) расходится. Преобразуем вторую дробь и разложим ее в ряд следующим образом:

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 219 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.11.202212.74 Mб43733.pdf
#
15.11.202212.79 Mб13734.pdf
#
15.11.202213.19 Mб03742.pdf
#
15.11.202213.22 Mб03744.pdf
#
15.11.202213.44 Mб03749.pdf
#
15.11.202213.52 Mб03750.pdf
#
15.11.202213.78 Mб23756.pdf
#
15.11.202213.84 Mб03757.pdf
#
15.11.202214.07 Mб13760.pdf
#
15.11.202214.09 Mб03762.pdf
#
15.11.202214.86 Mб43773.pdf