Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

3750

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.11.2022

Размер:

13.52 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 216 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

нейных интегралов вытекает также, что имеют место следующие формулы:

1.	af	z	bg z	dz	a f z dz	b g z dz ,	(3.4)
	L				L	L
где a и b – любые комплексные числа.
2.	f	z dz	f	z	dz ,		(3.5)
	L		L

т.е. при изменение ориентации кривой интеграл меняет знак.

f z

z dz

z dz .

(3.6)

Оценки интегралов

Лемма 1. Пусть функция

непрерывна на кривой .

Тогда имеет место оценка

z dz

(3.7)

где

dx 2

dy 2

ds – элемент дуги кривой .

Следствие. Из неравенства (3.7) вытекает оценка

(3.8)

где M max

f z

, l

– длина кривой .

непрерывна в области D

Лемма 2. Пусть функция

и кривая

лежит в

D . Тогда интеграл f

можно с

любой точностью приблизить интегралом от

по лома-

ной, лежащей в области D , т.е. для любого

0 существует

ломаная C , лежащая в области D , такая, что

	f z dz f z dz	.	(3.9)
	C
Лемма 3. Пусть D – ограниченная односвязная область,
– граница области D . Если функция f		z	непрерывна в об-
ласти D вплоть до границы, то интеграл			f z dz можно с

любой точностью приблизить интегралом от f z по замк-

нутой ломаной, лежащей в области D .
Рассмотрим неодносвязную область. Пусть граница
ограниченной области D состоит из кривых				1, 2 , ,	n :
n
k . Если функция f	z	непрерывна		в области	D
k 1
вплоть до границы , то
n
f z dz		f	z dz .	(3.10)
k	1	k
Из леммы 3 вытекает
Следствие. Если функция	f	z	непрерывна в области D
вплоть до границы, то интеграл от			f z по границе области

D можно с любой точностью приблизить суммой интегралов от f z по замкнутым ломаным, лежащим в области D .

Лемма 4. Кривую , лежащую в области D , можно по-

крыть конечной системой кругов, принадлежащих области D

Методы вычисления интегралов

Если кривая L задана уравнением y y x , то в формуле (3.3) можно записать dy y x dx и, следовательно,

f z dz

u x, y(x)

v x, y(x) y (x) dx

x, y(x)

x, y(x) y (x) dx ,

(3.11)

где x1

и x2

– абсциссы начальной и конечной точек кривой L .

Если кривая L задана парой параметрических уравнений

y t

то

формуле (3.3) можно

записать

dt ,

dt и, следовательно,

f z dz

u x(t), y(t) x (t) v x(t), y(t) y (t) dt

x(t), y(t)

x (t)

u x(t), y(t) y (t)

dt ,

(3.12)

где x1

x(t1) , x2

x(t2 ) .

Если

кривая

задана

параметрическим

уравнением

t ,

причем начальная и конечная точки дуги соответст-

вуют значениям параметра t

и t

t2 соответственно, то

z(t)

z (t)dt .

(3.13)

Если путь интегрирования является полупрямой, выхо-

дящей из точки

z0 , то полезно сделать замену переменной

rei

. В этом случае

0 =const , расстояние от точки

меняется от 0 до

, dz

0 dr , поэтому

rei 0 dr .

(3.14)

Если путь интегрирования является или дугой окружности с центром в точке z0 , то также полезно сделать замену пе-

ременной z

rei

. В этом случае r

const , угол меня-

ется от

до

ir ei d

, поэтому

r ei

ei d

z dz

(3.15)

Функция F

z называется первообразной функции

f z

в области D , если F

z дифференцируема в этой области и

F z

f z

D .

Пусть функция

f z

аналитична в односвязной области

D , а L – некоторая кривая, целиком лежащая в D . Тогда

1) существует первообразная F

для

f z в D и вер-

на формула Ньютона-Лейбница:

z dz

z1 ,

(3.16)

где z1 и z2 – начальная и конечная точки кривой L ;

2) если L – любой замкнутый кусочно-гладкий контур в

области D , то верна теорема Коши:
f z dz 0 ;	(3.17)

Если функции f z и z – аналитические в односвяз-

ной области D , а z1 и z2 – произвольные точки этой области, то имеет место формула интегрирования по частям:

z2				z2	z2
f z	z dz	f z	z	z2	z f z dz .	(3.18)
f z	z dz	f z	z	z1	z f z dz .	(3.18)
z1					z1

Замена переменных в интегралах от функций комплексного переменного производится аналогично случаю функции

действительного переменного. Пусть аналитическая функция z w отображает взаимно однозначно контур C1 в плоско-

сти w на контур C в плоскости z . Тогда

f z dz	f w	w dw .	(3.19)
C	C1

		Рис. 3.2
Если функция	f z	аналитична в многосвязной области
D , ограниченной контуром			и внутренними по отношению к
нему контурами 1 ,	2 ,	,	k , и непрерывна в замкнутой об-

ласти D D	1		k , где знаки в верхних индексах

означают направления обходов (рис. 3.2), то верна теорема Коши для многосвязной области:

z dz

0 .

(3.20)

m 1

Пример 1. Вычислить интеграл

2z dz

по лини-

ям, соединяющим точки z1

0 и z2

i ,

а) по параболе y

(рис. 3.3, а);

б) по прямой (рис. 3.3, б);

в) по ломаной z1z3z2 ,

1 (рис. 3.3, в).

а)

б)

в)

Рис. 3.3

Решение. Запишем подынтегральную функцию в виде

1 i

2(x iy)

2x)

i(1

2 y)

iv .

Проверим

эту функцию

на аналитичность:

2 .

Так

как

, то функция не является аналитической. Применяя

формулу (3.3), получим

2z dz

(1 2x)dx

(1 2 y)dy i

2 y)dx

(1 2x)dy.

а) Для параболы y

имеем dy

2x dx ( 0

1). Сле-

довательно,

1 i

1												1
	1 2x (1 2x2 )2x dx i 1 2x2																				(1 2x)2x dx
0												0
	x 2x	2	x	4		1			i x x				2			2		x	3		1		2	4		i .
																					1

						0										3					0			3



б) Уравнение прямой,											проходящей через точки z1 0 и
z2 1 i , будет y			x ( 0					x				1), а значит,									dy		dx . Поэтому
							1				i	2z		dz
					L
	1											1
	(1 2x) (1 2x) dx i (1 2x) (1 2x) dx
	0											0
				2x2				1			i 2x			1					2 2i .


								0						0
														0
													dy				0 ,
в)	На отрезке		z1z3 : y									0 ,	dy				0 ,			0		x	1.		На отрезке
z3z2 : x	1 , dx 0 ,		0			y	1.					Используя свойство линейности
криволинейных интегралов, получим
	1 i 2z dz						1 i 2z dz														1 i 2z dz
L				z1z3															z3z2
	1				1						1									1
	(1 2x) dx i					dx						(1	2y)dy						i (1				2 1)dy
	0				0						0									0
	x x2			1		i x				1		y y2						1	i y			1	2 .


				0						0					z	2		0				0
										0												0

Пример 2. Вычислить											I		e				Re z dz , где C – отрезок


												C
прямой, соединяющей точки z1 0 и z2																				1		i .
Решение (первый способ). Выделим действительную и
мнимую часть подынтегральной функции																					f	z	e		z	2	Re z . Для

этого перепишем ее в виде e

Re z

ex2

y2 x . Отсюда следует,

u x, y

xex2

y2 ,

x, y

0 . Применим формулу (3.3). Полу-

чаем

Re zdz

xex2

y2 dx

xex2

y2 dy .

Уравнение прямой,

проходящей через точки z1

0 и z2 1 i ,

будет y

x , а значит dy

dx . Поэтому

2x2

1 i

1 1 i .

Решение (второй способ). Так как при движении вдоль

arg z

отрезка C изменяется только r

от 0 до

2 , а

то

4 ,

4 dr

Re z

r cos

и для интеграла получаем

er2

1 i dr

1 i

er2 d r 2

1 i er2

1 i e2

1 .

Пример 3. Вычислить zk dz , где C – окружность еди-

ничного радиуса с центром в точке

0 (обход против часо-

вой стрелки,

k – целое число).

Решение. Так как на окружности

C имеем

1, то

( 0

) и dz

iei

. Тогда получаем

0, k

1 .

zk dz

eik iei d

i ei k 1 d

При k

0 результат вычислений согласуется с теоремой Коши

(3.17). При k

1 функция

не определена и не диф-

ференцируема в точке

z 0 .

Интеграл не равен нулю. При

3, подынтегральная функция не определена в точке

0 и теорема Коши также не применима,

но интеграл равен

нулю.

Пример 4. Вычислить

zzdz , где C :

Решение. Аналогично примеру 3:

zzdz

ei e i iei d

ei d i

e2 i

cos 2

i sin 2

0 .

1 i

Пример 5. Вычислить интеграл

zdz .

Решение. Так как подынтегральная функция является

аналитической,

то можно

использовать

формулу

Ньютона-

1 i

i 2

Лейбница (3.16):

zdz

i .

3.2. Интегрирование многозначных функций

Пусть функция

аналитическая в области D ,

отображает

D на область G и такова,

что обратная функция

z	w	многозначна в области		G .	Если существуют одно-
значные,		аналитические в	области		G	функции	z	1 w ,
z	2 w , , для которых данная функция w f						z	является
обратной,		то функции z	1 w ,	z	2	w ,	называются
однозначными ветвями функции				z	w , определенными в
области G .
	Например, функция w		zn каждой точке z0				ставит в со-

ответствие единственную точку w0 , но одной и той же точке

( w 0 ,

) функция

z n

ставит в соответствие n

различных точек плоскости

z ; при этом, если w

rei , то эти

n значений z находятся по формулам (1.30):

)

(

, k 0, 1, 2,

, n 1).

Пусть односвязная область G содержит точку w0 , но не

содержит точек w

0 и w

. Тогда различным фиксирован-

ным значениям k

( k

0, 1, 2,

, n 1) при одном и том же вы-

боре числа

0 (например,

arg w0 ) соответствуют различ-

ные ветви функции z

Точка, обладающая тем свойством, что обход вокруг нее

в достаточно малой окрестности влечет за собой переход от одной ветви многозначной функции к другой, называется точкой разветвления рассматриваемой многозначной функции.

Точками разветвления функции z nw являются точки w 0 и w . После n -кратного обхода вокруг точки w 0 мы вернемся к первоначальной ветви функции z nw ; точки разветвления, обладающие таким свойством, называются ал-

гебраическими точками разветвления порядка n 1. В каждой из этих точек функция z nw имеет только одно значение:

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 216 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.11.202212.74 Mб43733.pdf
#
15.11.202212.79 Mб13734.pdf
#
15.11.202213.19 Mб03742.pdf
#
15.11.202213.22 Mб03744.pdf
#
15.11.202213.44 Mб03749.pdf
#
15.11.202213.52 Mб03750.pdf
#
15.11.202213.78 Mб23756.pdf
#
15.11.202213.84 Mб03757.pdf
#
15.11.202214.07 Mб13760.pdf
#
15.11.202214.09 Mб03762.pdf
#
15.11.202214.86 Mб43773.pdf