Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

3750

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.11.2022

Размер:

13.52 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 2116 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

4kz

t l

c2k

k 2

c2k 2

2k 4c2

2k 4 2

(6.19)

k 2

k 4

Далее был произведен анализ полученных выражений для различных предельных случаев. Рассмотрим для примера

длинноволновый предел kz							0 при произвольной частоте.
В этом случае из формул (6.18) и (6.19) получено:
				1			b		2		kDl		dx
							b						dx
			Im g1					1							t
			Im g1			2					0		x		t
						2							x

	b	2	kDl									dx
	b		5								t	dx
	1		5								t							,	(6.20)
2			0 x c		2	x	2		l	2			2	2	4	2	2	,	(6.20)
2					2		2			2			2	2		2	2
																	t
				t													t

Im g	1	b2
Im g		2
		2

b2 3

kDl

cl2

cl4

0 x

2 kDl

t dx

ct2 x2

0 x

2 2

2c	4 kDl					xdx
2c					l	xdx
t					l
cl2l2		2	x	2		2		2 2
	0	cl	x		2		4	2 2
		l2					4	l
								l

151

c	4								kDl																			dx
c								2																		l		dx
t								2																		l
c4								0			x	c		2		x		2				l	2						2	2	4	2	2
l								0			x	c				x						l									4		l
														l																			l
			c			4 kDl																			3		dx
			c																						l		dx
4					t																				l
4			c4					0		x		c	2		x		2				l	2							2	2	4	2	2
			c4										2				2					2							2	2		2	2
					l																												l
													l																				l
						kDl																2			l dx
		4																				t			l dx
		4					0 x c2 x2											l2								2 2				4	2 2
							0 x c2 x2											l2								2 2				4	2 2
												l																				l
2c					2 kDl																				t xdx
2c
				t				0 l2					2 x2 l									2							2 2			2 2
								0 l2				c	2 x2 l									2							2 2		4	2 2
												l																					l
		c			2			2		kDl																			dx
		c																										t	dx
2				t																								t
2		c2								0		x						2		x		2							2	2	4	2	2
		c2																2				2								2
				l												cl
				l
																																	l
																		l2															l
																		l2
				c			2 kDl																			2		dx
				c																				t	l			dx
	8					t																		t	l									.	(6.21)
	8			c			2								2				2										2					.	(6.21)
				c			2								2				2										2
						l		0			x		cl				x								2					4	2	2
								0					cl				x								2						2	2
																																l
															l2																	l
															l2

Введены обозначения для упрощения записи и перехода к без-

размерным

величинам:

ct l ,

l ,

t ,

l ,

ft x

t x

t ,

fl x

l x

l ,

– длина сво-

бодного пробега электрона. Тогда выражения (6.20) и (6.21) запишутся в виде:

152

	1	b	2	kDl	dx

Im g1		1
		2		0	x

Im g	1	b2
Im g		2
		2

kDl

0 x x

(6.22)

	c	2	kDl	dx		c	4	kDl	dx

1 2	t				t	t				l
	cl2		0 x			cl4		0 x

5 kDl

ft dx

0 x

3 kDl

xdx

4al

5 kDl

0 x

3 kDl

cl4

0 x x2

a2 2

2 f 2

3 kDl

fl dx

0 x x2

4a2 f

3 kDl

ft xdx

4al

153

kDl

3 kDl

(6.23)

Запишем еще раз выражения (6.22) и (6.23), учитывая, что первые слагаемые в (6.22) и (6.23) соответствуют торможению прямолинейной дислокации, движущейся с постоянной скоростью. Одновременно для упрощения записи введем обозначения интегралов

I n,m

kDl

0 x2

a2 2

4a2 f 2

С учетом сказанного выше получим

I1,0

Im g

(6.24)

1,t

Im g 1

1,0

I 0,1

1,t

I 0,1

I 0,3

I 2,1

4 t

1,l

ct3

I1,0

ct3

I1,0

ct3

I1,2

, (6.25)

1,l

где B1 и B – коэффициенты торможения для винтовой и крае-

вой дислокации соответственно. Вычислим интегралы, стоящие в формулах (6.24) и (6.25). Предварительно отметим, что все подынтегральные выражения быстро убывают при при-

154

ближении к верхнему пределу, поэтому последний может быть заменен на бесконечность. Отметим также, что t x и l x

четные функции и, следовательно, все подынтегральные функции нечетные. Умножим подынтегральные функции на sgn x .

Это действие не изменит интегралы, так как в данных пределах sgn x 1. В результате подынтегральные функции станут

четными, что дает возможность вести интегрирование от

I n,m

sgn

x p ftn

flm

dx .

a2 2

4a2 f 2 x

Используем

легко

проверяемое

тождество

sgn x Im i

ln x

и переписываем интегралы в виде

ln x x p ftn x flm x

I np,,m

dx .

(6.26)

Для вычисления таких интегралов введем вспомогательный

замкнутый контур R, , состоящий из отрезка						, R , большой

полуокружности CR :	z	R, 0		arg z	, отрезка R,		,
малой полуокружности C						0 и рассмотрим
малой полуокружности C		:	z	,	arg z	0 и рассмотрим

интеграл по этому контуру (рис. 6.12)

	R
F z dz	F x dx	F z dz	F x dx	F z dz ,
R,		CR	R	C

где F x – подынтегральная функция в выражении (6.26).

155

-R

Рис. 6.12

Видно, что при переходе к пределу

сумма инте-

гралов по отрезкам

, R

переходит в искомый

интеграл,

стоящий

в формуле (6.26). Заметим также, что

t x

~ 1,

l x

~ x

при x

t x

~ x2 ,

x ~ x2

при

0 , поэтому интеграл по полуокружности CR

при

стремится к нулю в силу

lim R max

0 ,

а интеграл по

z CR

полуокружности

при

стремится

нулю

в силу

0 . С другой стороны,

функция F z

анали-

lim

max

F z

z C

тична на контуре

и внутри контура за исключением ко-

нечного числа особых точек, следовательно, интеграл по контуру вычисляется с помощью основной теоремы теории вычетов. Тогда имеем

156

I np,,m	1	Im	2 i	res F z	Re		res F z . (6.27)
I np,,m		Im	2 i	res F z	Re		res F z . (6.27)
2			k	z zk		k	z zk
			Im zk	0		Im zk	0

Особые точки, лежащие внутри контура, определяются корня-

ми		уравнения		z2	a2 2	4a2 f 2 z 0	или
z2	a2	2ia	f z . Это уравнение определяет итерационную
процедуру zk			1	a2 2ia f	zk	с нулевым приближением
z0	a	, по которой корни уравнения могут быть найдены с

любой точностью. Сходимость итерационного процесса обес-

печивается тем, что в окрестности z0 a

в силу a

имеет место

В таком случае

можно

ограничиться

первым

приближением

a2 2ia f a

или

с той же

2i f

степенью точности z

i f

Таким образом,

все особые точки – полюса первого порядка. Из них в верхнюю

полуплоскость попадают два полюса							z1,2	a	if a . То-
гда, согласно формуле (6.27), получим
		i		2	ln z z p f n		z	f m	z
		i			ln z z p f n		z	f m	z
I np,,m					1	1 t	1	l	1
	Re
	Re	4z z2			a2	8a2	f	z f	z
		4z z2			a2	8a2	f	z f	z
	1		1					1	1

157

i	2	ln z2 z2p ftn z2	flm z2

				.
4z2 z22 a2 8a2 f
			z2 f z2

Перейдем теперь к вычислению конкретных интегралов, учи-

тывая

при

этом,

что

(комплексное

сопряжение),

2ia

– нечетная

функция.

ln z

I1,01,t

z 8ia z f z

8a2 f

z f

t 1

ln z2

8ia z

2 f

Подставим

z1 ,

замечая

при

этом,

что

ln z2

ln z1 i ,

z1 .

ln z

I1,01,t

8at

z1 iz1

at ft

iz1

at ft z1

ln z

8at

z1 iz1

at ft

z iz

a f

ln z

4at

z1 iz1

at ft

4at

z1 iz1

at ft

158

ln z1

(6.28)

2at

iz1

Подставим в полученное выражение z1

ift

и преобра-

зуем его в линейном по

ft at

приближении:

I1,0

at ft

2 ft

ln a .

1,t

4a3

2a4

Записывая

подставляя

параметр

, будем иметь

1,0

I 1,t

2 t

2 4

(6.29)

Аналогично вычисляются остальные интегралы. Окончательно получим для мнимой части обратной обобщенной восприимчивости винтовой и краевой компоненты дислокации следующие выражения:

					1							b2						b2		0		3
	Im g				1				B		1						1			0				,		(6.30)
	Im g			1					B															,		(6.30)
				1					1													2
											8				20							2
											8				20						t
																					t
								b2				c4							b2				4 c6			3
Im g 1			B							1			t							1					t	0
Im g 1			B			8				1		c4				20				1			3 c6			2
						8						c4				20							3 c6			2
													l												l		t
							b2 c2						4 c2		3
							b2 c2						4 c2		3
									t	1				t	0				ln		.					(6.31)
						5			c2	1			3 c2					2	ln	l	.					(6.31)
									l					l				l
Здесь 0		e2n2
			0			, где			e	– заряд электрона, n														– концентрация
						, где			e	– заряд электрона, n														– концентрация
	2																			0
	2		0
свободных электронов,										0	– электропроводность. Первые сла-

гаемые в формулах (6.30) и (6.31) соответствуют торможению прямолинейной дислокации, движущейся с постоянной скоростью; вторые слагаемые соответствуют радиационному торможению дислокации; третьи слагаемые соответствуют зату-

159

ханию колебаний дислокации в диссипативной среде; четвертое слагаемое в формуле (6.31) соответствует интерференционному вкладу в затухание колебаний дислокации за счет радиационных потерь и взаимодействия с диссипативной средой.

6.5. Дислокационное амплитуднонезависимое внутреннее трение (АНВТ)

Данный вопрос исследовался в работах [29-33]. Вычислим АНВТ через обобщенную восприимчивость дислокации. Согласно [29], обобщенная восприимчивость дислокации, упруго взаимодействующей с точечными дефектами, расположенными эквидистантно с интервалом l вдоль линии дислокации, имеет вид

q, q

q g

2 n

(6.32)

где

–

обобщенная

восприимчивость

изолированной

дислокации,

(6.33)

qd 2 K2

qd ,

– функция Макдональда вто-

рого рода второго порядка, q

– компонента волнового вектора

вдоль линии дислокации,

– расстояние от точечного дефек-

та до плоскости скольжения дислокации,

2 1

(6.34)

d 3

– параметр квазиупругой связи,

– характеристика мощно-

сти точечного дефекта, численно равная изменению объема кристалла при введении одного дефекта.

160

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 2116 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.11.202212.74 Mб43733.pdf
#
15.11.202212.79 Mб13734.pdf
#
15.11.202213.19 Mб03742.pdf
#
15.11.202213.22 Mб03744.pdf
#
15.11.202213.44 Mб03749.pdf
#
15.11.202213.52 Mб03750.pdf
#
15.11.202213.78 Mб23756.pdf
#
15.11.202213.84 Mб03757.pdf
#
15.11.202214.07 Mб13760.pdf
#
15.11.202214.09 Mб03762.pdf
#
15.11.202214.86 Mб43773.pdf