3750

а)

б)

f z1

0 ,

1

2V R2

0 .

f

z1

i

z2

2

z1

1

При критическом значении

0 имеем

z1,2

iR ,

f

iR

0 ,

f iR

0 ,

щими в точку z1,2

iR , равен

3 (рис. 6.13, б).

Если

0 , то подкоренное выражение в (6.57) отрица-

1

тельно и

z

2

16

2V 2 R2

R . Из (6.56) сле-

1,2

4 V

дует, что

z z

2

R2 ,

так что одна критическая точка лежит

1

внутри, а вторая – вне окружности

z

R . В этом случае появ-

ляются замкнутые линии тока (рис. 6.13, в).

Циркуляцию

можно выразить через координаты точки

схода:

4

v

R sin

. Если же argV 0 , то

4 v R sin(

) .

(6.58)

Пусть контур

S – эллипс

x2

y2

1

0 b

a . Его фо-

a2

b2

кусы расположены в точках x

c , где c

a2

b2 . Решение

c, c ветвь корня выбирается так, что

z2

c2

0 при дейст-

вительных z

c,

. Радиус окружности

R

и полуоси эл-

липса связаны

соотношениями

a

1

R

1

,

b

1

R

1

,

2

R

2

R

откуда находим R

a b . В силу формулы (6.55) имеем

1

V

a

b 2

f z

V w

ln w

2

w

2

i

1

V

a

b 2

z2

c2

z2

c2 .

V z

ln z

2

z

z

2

c

2

2 i

Множитель 1 2 появляется по той причине, что

z2

c2

z

(

z

) и потому w ( )

2 . Избавляясь от иррациональности в

знаменателе, окончательно получаем

1

1 a b 2

z2

c2

z2 c2

f z

V z

V z

2

2

c2

ln z

z2

c2 .

(6.59)

2 i

При

a

c , b

0 эллипс вырождается в отрезок

c,

c

и

1

1

z2

c2

z2 c2 .

f z

V V z

V V

ln z

2

2

2 i

Полагая V

u

iv

, где u и v

– действительные функции,

находим

f

z

u z

iv

z2 c2

ln

z

z2

c2 .

(6.60)

2

i

Вычислим скорость потока. Имеем из (6.60)

2

v

z

(6.61)

V

f

z

u

2

i

z2

c2

и при произвольном значении циркуляции

скорость потока

0

2

cv

,

(6.62)

а для распределения скоростей получаем из (6.61)

z

c

.

(6.63)

V u

iv

z

c

На острие z

c скорость потока обращается в бесконечность.

Рассмотрим обтекание профилей Жуковского. Пусть

–

дуга, которая проходит через точки z

a ,

а середина дуги

есть точка z

ih , и

– окружность с центром в точке

w

ih ,

проходящая

через

точки

w

a

(рис. 6.14). Функция

w

z

z2

a2

конформно отображает внешность дуги

на

внешность окружности

. Заметим, что нормаль к окружно-

сти

в точке w

a образует с действительной осью угол

arctg h a , а в точке

w

a –

угол

arctg

h a

.

Пусть C

– окружность с центром в точке

w

ih

dei

, кото-

C

рая близка к окружности

и касается с ней в точке w

a ;

ее

радиус равен

R

a2

h2

d .

Функция

w z

z2

a2

конформно отображает на внешность окружности

C

внеш-

1

V R2

ln w .

f z

V w

2

w

2

i

Циркуляцию

определим из условия Чаплыгина: острая точ-

ка профиля должна быть точкой схода.

Образ точки z a

имеет вид Rei

и из (6.58) находим значение циркуляции

2

v

a2

h2

d sin

.

По теореме Жуковского подъемная сила крыла равна

v2

a2

h2

.

P

2

d

sin

w

y

z

ia

’

C’

C

ih

ih

a

-a

a

x

-a

Очевидно,

функция w f z является однолистной на

множестве

E , если для любых точек z1 и z2 этого множества

равенство f

z1

f z2 имеет место в том и только в том слу-

чае, когда z1

z2 . Другими словами,

функция w

f z

одно-

листна на множестве

E ,

если это множество не содержит ни

одной пары точек

z1 и z2 ( z1

z2 ) таких, что f

z1

f

z2 .

Из определения однолистности следует, что если функ-

ция однолистна на множестве

E и E1

E , то эта функция од-

нолистна на множестве E1 .

Суперпозиция однолистных отображений есть однолист-

ное отображение, т.е. если функция

f

z

однолистна на

множестве E ( E

E1 ), а функция w

g

однолистна на E1

( E1

E2 ), то функция w

g

f

z

однолистна на E ( E

E2

).

Если отображение w

f

z

: E

E

является однолист-

ным,

то каждой точке w

E

ставится в соответствие одна и

только одна точка

z

E

такая, что

f z

w . Тем самым на

множестве

E

определена

функция

z

h w ,

обратная

к

функции f

z

. Справедливы тождества:

f h w

w ,

w E ;

h f z

z , z E .

Функция

w

f

z ,

заданная на множестве

E и отобра-

жающая E на

E ,

является однолистной на E тогда и только

тогда, когда обратная функция z

h w

однозначна на множе-

стве

E .

Пример 1. Линейная функция

w

f

z

az

b ,

(П.1.1)

где

a и b – комплексные постоянные ( a 0 ), однолистна на

всей комплексной плоскости, так как обратная функция

z

h w

1

w

b

(П.1.2)

a

a

однозначна.

Функция (П.1.1) отображает взаимно однозначно расши-

ренную комплексную плоскость

z на расширенную комплекс-

ную плоскость

w .

При этом точка

z

переходит в точку

w

, а соответствие между конечными точками плоскостей

z и w определяется формулами (П.1.1) и (П.1.2).

Рассмотрим случай b

0 . Тогда

w

az ,

(П.1.3)

откуда

w

a

z

,

arg w

arg a

arg z .

(П.1.4)

z

w

w=az=|a|ei z

0

r

0

|a|r

точки z

0

на угол

arg a .

При отображении (П.1.3)

луч

arg z

переходит в луч

arg w

, а окружность

z

r –

в окружность

w

a

r (рис. П.1.2). Круг

z

r

при этом ото-

бражении переходит в круг

w

a

r .

Если

a

1 ,

т.е. a

ei

,

то преобразование (П.1.3) есть

поворот плоскости на угол

. В частности, преобразование

w

iz есть поворот на угол

2 , а преобразование w

z есть

поворот на угол .

Преобразование (П.1.1) есть суперпозиция преобразова-

ний

a

z ,

ei arg a ,

w

b . Поэтому преобразование

w

az

b можно осуществить, выполнив в указанном порядке

следующие преобразования:

а) подобное растяжение плоскости

z

в

a

раз (центр по-

добия в точке z

0 );

б)

поворот

плоскости

вокруг

точки

0

на

угол

arg a ;

в) параллельный перенос плоскости

на вектор b .

Пример 2. Функция

w

1 z

(П.1.5)

плоскость z

на расширенную комплексную плоскость

w (об-

ратная функция z

1 w однозначна). При этом точке z

0 со-

ответствует точке

w

,

а точке

z

– точка

w

0 .

Луч

arg z

переходит при отображении (П.1.5) в луч

arg w

,

окружность

z

r

– в окружность

w

1 r , круг

z

R

– на

область

w

1 R .

Пример 3. Рассмотрим функцию

w z2 .

(П.1.6)

Если z2

z2

, то либо z

z

2

, либо

1

2

1

Рис. П.1.3

Рассмотрим луч arg z

( 0

), лежащий в верхней

переходит в луч

arg w

2

. Будем вращать луч

arg z

, не-

прерывно увеличивая

от 0 до

. Тогда луч

arg w 2

, яв-

ляющийся образом луча

arg z

, будет поворачиваться про-

тив часовой стрелки. Если луч на плоскости z

опишет верх-

нюю полуплоскость,

то его образ опишет всю плоскость w .

При этом лучи

arg z

0

и

arg z

, образующие границу об-

ласти

Im z 0 ,

перейдут

соответственно в лучи arg w

0 и

arg w

2 . Геометрически эти лучи совпадают с положитель-