Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

3750

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.11.2022

Размер:

13.52 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 212 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

как

– сумма расстояний от точки

z до точек z1

и z2 .

Пример 1.7. Аналогично, уравнение

2a ,

где a

, является уравнением гиперболы с фокусами в

точках

z1 ,

и с действительной полуосью, равной a .

Неравенство треугольника. Для любых комплексных чи-

сел z1 и z2

имеют место неравенства

(1.15)

Доказательство. Длины сторон треугольника с верши-

нами в точках 0,

z1 , z1

равны

(рис. 2.1).

Следовательно, неравенства (1.15) являются известными из элементарной геометрии неравенствами для длин сторон треугольника.

Следствие. Для любых комплексных чисел z1 , z2 , , zn имеет место неравенство

n	n
zk		zk	.	(1.16)
k 1	k 1

1.3. Тригонометрическая и показательная формы комплексного числа

Положение точки z x iy на комплексной плоскости однозначно определяется не только декартовыми координатами x , y , но и полярными координатами r . (рис. 1.3), где r z – расстояние от точки 0 до точки z , а – угол между

действительной осью и вектором z , отсчитываемый от положительного направления действительной оси. При этом, если отсчет ведется против часовой стрелки, то величина угла считается положительной, а если по часовой стрелке – отрицательной. Этот угол называется аргументом комплексного чис-

ла z ( z 0 )и обозначается arg z (обозначение arg является сокращением французского слова argument ). Он определя-

ется не однозначно, а с точностью до слагаемого, кратного 2

	Arg z arg z		2k				( k		0,	1,	2, ),
где	arg z есть главное значение							Arg z ,		определяемое условия-
ми	arg z	, причем
			0,				если	x	0, y		0
		arctg	y	,			если	x	0, y		0
		arctg	x	,			если	x	0, y		0
			x
			2 ,				если	x	0, y		0
		arctg	y		,		если	x	0, y		0
		arctg	x		,		если	x	0, y		0
	arg z		x								(1.17)
	arg z										(1.17)
				,			если	x	0, y		0
		arctg	y			,	если	x	0, y		0
		arctg	x			,	если	x	0, y		0
			x
			2 ,				если	x	0, y		0
		arctg	y	,			если	x	0, y		0
		arctg	x	,			если	x	0, y		0
			x
	Из рис. 1.3. видно, что
		x r cos					,	y	r sin .		(1.18)

Следовательно, любое комплексное число z 0 можно представить в виде

z r(cos i sin ) . (1.19)

Запись комплексного числа в виде (1.19) называется тригонометрической формой комплексного числа. Из формул (1.18)

вытекает, что если z			x iy ,		Arg z , то
cos		x		, sin		y	.	(1.20)


	x2		y2			x2 y2

z=x+iy=r(cos

isin

)=rei

Рис. 1.3

Пример

1.8.

Найдем

аргумент

комплексного

числа

i . Так как точка

лежит в третьей четверти и

arctg

arctg1

, то по формуле (1.17) получаем

arg z

Arg z

arg z

где

k 0,

Пример 1.9. Записать в тригонометрической форме ком-

1)2

(

плексное число z

3 . Имеем r

(

3)2

2 ,

arctg

Следовательно,

arg z

i sin

cos

Любое комплексное число z

0 можно записать в пока-

зательной форме:

rei

, где

Arg z .

(1.21)

Функция

для любого действительного числа

определя-

ется формулой Эйлера

cos

i sin .

(1.22)

В частности, e2 i 1,	e i		e i / 2 i , e i / 2
		1,		i ,	ei	1.
Из (1.22) получается равенство
e i	cos		i sin .	(1.23)

Сложением и вычитанием равенств (1.22) и (1.23) получаются

формулы Эйлера:

				ei	e i							ei	e	i
	cos						,	sin							.	(1.24)
	cos				2		,	sin					2i		.	(1.24)
					2								2i
Функция	ei	обладает обычными свойствами показательной
функции:
	ei	1 ei 2			ei( 1	2 ) ,			ei	1	ei( 1		2 ) ,			(1.25)
	ei	1 ei 2			ei( 1	2 ) ,			ei	2	ei( 1		2 ) ,			(1.25)
									ei	2
		ei		n	ein ,		n	0,		1,	2,					(1.26)
		ei			ein ,		n	0,		1,	2,					(1.26)
Из равенств (1.26) и (1.23) вытекает формула Муавра:
cos	i sin		n		cos n		i sin n ,					n	0,	1, 2,		(1.27)
cos	i sin				cos n		i sin n ,					n	0,	1, 2,		(1.27)

С помощью равенств (1.25) легко получаются формулы умножения и деления комплексных чисел, записанных в показательной форме:

z z	2		r ei		1 r ei	2		r r ei(				1 2 ) ,		(1.28)
1	2		1		2			1 2
		z1		r1ei 1			r1		e	i(	1	2 )	.	(1.29)
		z2		r ei 2			r2		e				.	(1.29)
		z2		r ei 2			r2
					2

Из формулы (1.28) следует, что модуль произведения двух комплексных чисел равен произведению модулей этих чисел: z1z2 z1 z2 , а сумма аргументов сомножителей является ар-

гументом произведения: arg z1 arg z2 arg(z1z2 ) . Аналогично из формулы (1.29) вытекает, что модуль частного двух ком-

плексных чисел равен частному модулей этих чисел:	z1	z1

	z2	z2
	z2	z2

( z2	0 ), а разность аргументов делимого и делителя является
аргументом частного: arg z												arg z		2			arg				z1		.
аргументом частного: arg z												arg z					arg						.
								1													z2
																					z2
	Пример 1.10.									3 1 i						2						i		3 3			ei	4		2
	Пример 1.10.				1	i			3	3 1 i						2			2e			i		3 3		2	ei	4		2
8 2 e i			ei	2 16e i		2						16i .
																						20 ,
	Пример			1.11.	Вычислить												z		z	2		20 ,		где z				1			i 3 ,
																1				2					1

z2	1	i .	Имеем			z1					1 3					2 ,				1					3 ,				z2		2 ,
z2	1	i .	Имеем			z1					1 3					2 ,				1					3 ,				z2		2 ,
													2e					3		20											20
								20										3						210	e 13 i			12
	3	4 .	Тогда		z	z		20

2							2
2					1		2								2e3			4
															2e3			4
210 e 65i			3	210 e 22i ei				3				210 ei				3		210					cos		i sin
210 e 65i				210 e 22i ei								210 ei						210					cos		i sin
																								3				3

29 1 i3 .

Корень n -й степени ( n плексного числа z 0 имеет находятся по формуле

– натуральное число) из ком- n различных значений, которые

)

n z

cos

i sin

, (1.30)

arg z ,

где

0, 1, 2,

, n

1 . Точки, соответствующие

этим

значениям,

являются

вершинами

правильного n -

угольника, вписанного в окружность радиуса n

с центром в

начале координат.

Пример 1.12.

Найдем

все значения 3 1

i .

Приводим

комплексное число 1 i

к тригонометрическому виду:

i sin

cos

										2k					2k
		3		6				4		2k				4	2k
Следовательно,		3	1 i	6		2 cos		4				i sin		4		.
Следовательно,			1 i			2 cos		3				i sin			3	.
								3							3
Полагая k	0, 1, 2 , находим:

k 0 ,			3 1		i	6 2	cos			i sin				,
k 0 ,			3 1		i	6 2	cos			i sin				,
								12			12
									7		7
k	1 ,		3 1	i		6 2	cos		7	i sin	7			,
k	1 ,		3 1	i		6 2	cos	12		i sin	12			,
								12			12
							cos	15					15	.
k	2 ,		3 1	i		6 2		15		i sin			15
k	2 ,		3 1	i		6 2				i sin
								12			12

Как уже отмечалось (1.9), модули комплексно сопряженных чисел равны. Установим связь между их аргументами.

Пусть z rei , тогда из равенств (1.22) и (1.23) видно, что z re i . Следовательно, если arg z , то arg z .

Отметим, что операция сопряжения перестановочна с арифметическими операциями над комплексными числами:

z2 ,

( z2

0 ),

z1 z2

z1z2

z n

( n

0, 1,

), z

0 при n

0 .

1.4. Кривые и области на комплексной плоскости
Пусть функция z	(t) определена на отрезке	t

и принимает комплексные значения. Эту комплекснозначную

функцию	можно	представить	в	виде (t) (t)	i (t) , где
(t) Re	(t) и	(t) Im (t)	–	действительные	функции.

Многие свойства действительных функций естественным образом переносятся на комплекснозначные функции.

Предел функции

(t)

(t) определяется так

lim

(t)

lim

(t)

i lim

(t) .

(1.31)

Таким образом,

предел

lim

(t)

существует,

если существуют

пределы lim

(t) и lim

(t) .

t t0

Пределы комплекснозначных функций обладают сле-

дующими свойствами: если существуют пределы

lim 1(t)

t t0

и lim

2 (t)

a2 , то существуют пределы

t t0

lim

1(t)

2 (t)

a2 ,

lim

1(t) 2 (t)

a1a2 ,

а если

0 , то

lim

1(t)

. Аналогичны определения и

(t)

свойства пределов

lim

(t)

lim

(t) .

Функция

(t)

называется

непрерывной

точке (или на отрезке), если в этой точке (на отрезке) непрерывны функции (t) и (t) . Ясно, что сумма, разность и про-

изведение непрерывных комплекснозначных функций являются непрерывными функциями, а частное двух непрерывных комплекснозначных функций является непрерывной функцией в тех точках, в которых знаменатель не равен нулю. Отметим

также, что комплекснозначная функция						(t) , непрерывная на
отрезке	,	, ограничена на этом отрезке:						(t)	M для не-

которого	M	0 и всех t	,	.
Производная функции				(t)	(t) i	(t)	определяется так
		(t)		(t)	i (t) .		(1.32)
Следовательно, производная				(t)	существует, если существу-

ют производные (t) и (t) . Это определение эквивалентно определению производной с помощью формулы

				(t)	lim		(t		t)		(t)	.	(1.33)
				(t)	lim				t			.	(1.33)
					t 0				t
Если существуют производные								1(t) и			2 (t) ,		то существуют
производные			1	2	1			2 ,	1		2		1 2 1 2 , а
если	2	(t) 0 , то		1		1	2	1	2	.
если		(t) 0 , то						2		.

				2
				2				2

Однако не все свойства дифференцируемых действительных функций переносятся на комплекснозначные функции. В частности, для комплекснозначных функций теоремы Ролля и Лагранжа, вообще говоря, неверны.

Пример 1.13. Функция

(t)

eit дифференцируема на

отрезке 0, 2

(t) ieit ,

(t)

при всех t

0, 2

. Та-

ким образом,

(t)

не обращается в нуль ни в одной точке от-

резка 0, 2 , хотя

(0)

) 1 .

Комплекснозначную

функцию

(t)

i (t)

можно

рассматривать

как

вектор-функцию

(t),

(t) .

Рассмотрен-

ные выше определения предела, непрерывности и производной для функции (t) являются обычными определениями соот-

ветствующих понятий для вектор-функции, сформулированные в терминах комплексных чисел. Комплекснозначная функция z (t) , t , отображает отрезок , на не-

которое множество точек комплексной плоскости, которое можно рассматривать как график этой функции. В частности,

если функция z	(t)	непрерывна,		то ее графиком является
некоторая кривая на комплексной плоскости.
Пусть на конечном отрезке				t	задана непрерывная
комплекснозначная функция z			(t) . Тогда говорят, что зада-
на непрерывная кривая
	z	(t) ,	t	,	(1.34)

а уравнение (1.34) называется параметрическим уравнением

этой	кривой. При этом, если z1		(t1) и z2	(t2 ) , где
t1	t2	, то говорят, что точка	z2 кривой (1.34) следует
за точкой		z1 . Таким образом, кривая (1.34) является упорядо-

ченным множеством точек комплексной плоскости. Другими словами, кривая (1.34) всегда считается ориентированной в направлении возрастания параметра t . Направление движения точки z вдоль кривой (1.34), соответствующее возрастанию параметра t , называется положительным. Пусть кривая задана уравнением (1.34). Тогда на комплексной плоскости точки z (t) , t , образуют некоторое множество M ( ) . Это

множество отличается от самой кривой, во-первых тем, что кривая является упорядоченным множеством точек.

Пример 1.14. Кривая z eit , 0 t является полуок-

ружностью	z	1, Im z 0 ,	ориентированной против часовой
стрелки (рис. 1.4).
Второе отличие кривой			от множества M ( ) состоит в

том, что различным точкам кривой может отвечать одна и та

же точка плоскости:			если (t1)	(t2 ) при t1 t2 , то	точки
z1	(t1) и z2	(t2 )	являются различными на кривой		, но

как точки плоскости они совпадают. Такие точки называются

точками самопересечения кривой (1.34). Исключением являет-

ся совпадение начала и конца кривой: если ( ) ( ) , то эта

точка не считается самопересечением кривой (1.34). Кривая, не имеющая точек самопересечения, называется простой кривой. Кривая, у которой начало и конец совпадают, называется замк-

нутой кривой.

Кривая в примере 1.14 является простой незамкнутой.

-1				1	x
			Рис. 1.4
Кривая называется гладкой, если ее уравнение можно за-
писать в виде	z	(t) ,	t	, где функция	(t) имеет на
отрезке ,	непрерывную и отличную от нуля производную

(t) 0 , причем, если кривая замкнута, то должно выполнять-

ся равенство	( )	( ) .
Кривая называется кусочно гладкой, если ее можно раз-
бить на конечное число гладких кривых.
Пусть на	луче	t	задана	непрерывная	комплексно-
значная функция z		(t) и	( )	, т.е. lim	(t)	. То-
				t
гда говорят, что задана неограниченная кривая
	z	(t) ,	t	,		(1.35)

а уравнение (1.35) называется параметрическим уравнением

этой кривой. Неограниченная кривая (1.35) называется кусочно

гладкой,		если для каждого конечного	кривая	z		(t) ,
	t	является кусочно гладкой.
	Аналогично определяются неограниченные кривые в
случае,		когда параметр t пробегает полуось	t			или
всю числовую ось.
	Пример 1.15. Какая кривая задается уравнением				z	c
	Пример 1.15. Какая кривая задается уравнением				z	c
	z c	2a , где c и a – действительные положительные чис-
	z c	2a , где c и a – действительные положительные чис-

ла, причем a c ?

<<< < Предыдущая 12 / 212 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.11.202212.74 Mб43733.pdf
#
15.11.202212.79 Mб13734.pdf
#
15.11.202213.19 Mб03742.pdf
#
15.11.202213.22 Mб03744.pdf
#
15.11.202213.44 Mб03749.pdf
#
15.11.202213.52 Mб03750.pdf
#
15.11.202213.78 Mб23756.pdf
#
15.11.202213.84 Mб03757.pdf
#
15.11.202214.07 Mб13760.pdf
#
15.11.202214.09 Mб03762.pdf
#
15.11.202214.86 Mб43773.pdf