Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

3750

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.11.2022

Размер:

13.52 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1920 / 2120 21 > Следующая >>>

f (z)

f (z )

(z z0 )2

2i Im z0

2 y0

arg f

(z0 )

б) Пусть f (z)

, где

1 . Тогда

zz0

f (z)

z0 z0

f (z

)

0 ,

(1 zz0 )2

1 z0 z0

arg f (z0 )

0 .

Постоянство растяжений.

Пусть функция w

f (z)

дифференцируема

некоторой

окрестности точки

z0 и

f (z0 )

0 . Рассмотрим произвольную точку z

кривой

, рас-

положенную достаточно близко к точке z0

(рис. П.2.3).

’

w=f(z)

Рис. П.2.3

Обозначим

z0 ,

f (z)

f (z0 )

w0 . Из опреде-

ления производной

(z0 )

следует, что

(z0 )

(

z) , где

( z)

при

0 , откуда получаем

lim

f (z0 )

или

f (z0 )

(П.2.3)

191

Пусть

, где

достаточно мало, тогда из фор-

мулы (П.2.3) находим, что окружность

z z0

переходит

при отображении w

f (z) в кривую, которая мало отличается

от окружности

w w0

f (z0 )

. Иначе говоря, отображение

w f (z) с точность до малых более высокого порядка, чем

растягивает

круг

(z0 )

раз. Величина

lim

k называется линейным растяжением кривой

точке z0

при отображении w

f (z) . Следовательно, линейное

растяжение в точке z0

не зависит от вида и направления кри-

вой и равно k

f (z0 )

3. Определение конформного отображения. Пусть

функция

f (z) определена в некоторой окрестности точки z0 .

Определение 1.

Отображение

f (z) называется кон-

формным в точке z0 , если оно сохраняет углы между кривыми и обладает свойством постоянства растяжений в точке z0 .

Из полученных результатов вытекает, что если функция

f (z) дифференцируема в некоторой окрестности точки z0						(ре-
гулярна в точке z0 ) и	f (z0 )	0 , то отображение w			f (z)	яв-
ляется конформным в точке z0 .
Замечание 1. Условие		f (z0 )		0 означает, что якобиан
отображения w f (z)	в точке z0		отличен от нуля.
В самом деле, отображение w				f (z) u iv эквивалентно
отображению
u	u(x, y) ,		v	v(x, y) .	(П.2.4)

Якобиан отображения (П.2.4) равен

192

Используя условия Коши-Римана, получаем

Так как f (z)

, то

(z)

2 .

(П.2.5)

Таким образом, если

f (z0 )

0 , то якобиан J (z0 ) 0 .

Определение 2. Пусть функция

f (z) однолистна в облас-

ти D и пусть отображение w

f (z)

является конформным в

каждой точке области D . Тогда это отображение называется

конформным.

Из определений и свойств производной вытекает. Что если функция f (z)

1)дифференцируема в области D ,

2)однолистна в области D ,

3)ее производная отлична от нуля в этой области, то отображение w f (z) является конформным.

Примеры конформных отображений приведены в Приложении 1. Линейное отображение w az b ( a 0 ) является

конформным во всей комплексной плоскости. Функция w							z2
осуществляет конформное отображение					верхней полуплоско-
сти	Im z		0 на плоскость с разрезом		[0,	) . Отображение
w	ez	является конформным в полосе 0			Im z	2 .
	Замечание 2. Если функция			регулярна в точке z0			и
f (z0 )		0 ,	то отображение w f (z)	не является конформным
в точке z0 .

193

Поясним это утверждение на примере функции

f (z)

. В точке

производная функции

z2 обращается в нуль.

Рассмотрим два луча

arg z

и arg z

, выходящие из точ-

ки z

0 . Их образами при отображении

z2 являются лучи

arg w

2 . Исходные лучи образуют между со-

бой угол

а их образы –

угол 2(

) . Следовательно,

углы в точке

0 удваиваются, т.е. отображение

не

является конформным в точке z

0 .

4. Площадь образа области и длина образа кривой.

Пусть функция w f (z)

конформно отображает область D на

область

D . Тогда якобиан отображения равен J

(z)

площадь области D равна

S(D )

dudv

dxdy

f (z)

2 dxdy .

Пусть

– кривая, лежащая в области D , а

– ее образ при

отображении w

f (z) . Тогда длина кривой

равна

)

f (z)

Замечание 3. Приведем геометрическую интерпретацию формулы (П.2.5). Как известно из курса математического анализа, величина J , где J – якобиан отображения (П.2.4), рав-

няется коэффициенту растяжения площадей при отображении w f (z) u iv . Выше было показано, что линейное растяже-

ние при отображении w f (z) не зависит от направления и равно f (z0 ) . Следовательно, коэффициент растяжения пло-

щадей равен f (z0 ) 2 .

5. Конформное отображение на расширенной ком-

плексной плоскости. В пункте 3 дано определение конформного отображения областей, не содержащих бесконечно уда-

194

ленную точку. Было отмечено, что такие отображения осуществляются однолистными регулярными функциями. Для областей расширенной комплексной плоскости введем следующее

Определение 3. Отображение w f (z) области D рас-

ширенной комплексной плоскости z на область G расширенной комплексной плоскости w называется конформным, если

1) это отображение взаимно однозначно, т.е. функция f (z) однолистна в области D ;

2) функция f (z) регулярна в области D , за исключени-

ем, быть может, одной точки, в которой эта функция имеет полюс первого порядка.

Так как критерием однолистности функции f (z) в точке z0 является условие f (z0 ) 0 , то из геометрического смысла

производной вытекают следующие два свойства конформного отображения:

1. Постоянство растяжений. Линейное растяжение в точке z0 одинаково для всех кривых, проходящих через эту

точку, и равно f (z0 ) .

2. Сохранение углов. Все кривые в точке z0 поворачиваются на одинаковый угол, равный arg f (z0 ) .

Из определения 3 и свойств однолистных и обратных функций вытекают еще два свойства:

3.Отображение, обратное к конформному отображению, также является конформным.

4.Суперпозиция двух конформных отображений также является конформным отображением.

Введем понятие угла между кривыми в бесконечно удаленной точке.

Определение 4. Углом между кривыми 1 и 2 , прохо-


дящими через точку z	, называется угол между образами
этих кривых при отображении		1 z в точке	0 .

195

Из этого определения и свойства 2 вытекает следующее свойство конформного отображения:

5. При конформном отображении области D расширенной комплексной плоскости сохраняются углы между кривыми в каждой точке этой области.

Фундаментальной теоремой теории конформных отображений является

Теорема Римана. Пусть D – односвязная область расширенной комплексной плоскости, граница которой состоит более чем из одной точки. Тогда

1)	существует функция		w	f (z) ,	которая			конформно
отображает область D на круг			w	1;

2) эта функция единственна, если выполняются условия
	f (z0 ) w0 ,	arg f (z0 )			.
Здесь z0	и w0 – заданные точки ( z0 D ,					w0	1),	– задан-

ное действительное число.

Исключительными являются следующие области: а) вся расширенная комплексная плоскость,

б) вся расширенная комплексная плоскость с одной выколотой точкой.

В случае неодносвязных областей вопрос и существовании конформного отображения является гораздо более сложным. Даже для простейших двусвязных областей D : r z R

и G : r1 w R1 не всегда существует конформное отображение D на G .

196

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1.Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов. М.: Наука, 1985. Т. 2.

2.Романовский П.И. Ряды Фурье. Теория поля. Аналитические и специальные функции. Преобразование Лапласа. М.:

Наука, 1980.

3.Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного. М.: Наука, 1989.

4.Араманович И.Г., Лунц Г.Л., Эльсгольц Л.Э. Функции комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория устойчивости. М.: Наука, 1981.

5.Маркушевич А.И., Маркушевич Л.А. Введение в теорию аналитических функций. М.: Просвещение, 1977.

6.Маркушевич А.И. Краткий курс теории аналитических функций. М.: Наука, 1978.

7.Привалов И.И. Введение в теорию функций комплексного переменного. М.: Наука, 1984.

8.Пчелин Б.К. Специальные разделы высшей математики. Функции комплексного переменного. Операционное исчисление. М.: Высш. шк., 1973.

9.Свешников А.Г., Тихонов А.Н. Теория функций комплексной переменной. М.: Наука, 1979.

10.Сидоров Ю.В., Федорюк М.В., Шабунин М.И. Лекции по теории функций комплексного переменного. М.: Наука,

1989.

11.Краснов М.Л., Киселев А.И., Макаренко Г.И. Функции комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория устойчивости. М.: Наука, 1981.

12.Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1988.

13.Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. М.: Высш. шк., 1980. Ч.

197

14.Лунгу К.Н., Норин В.П., Письменный Д.Т., Шевченко Ю.А. Сборник задач по высшей математике. 2 курс. М.: Айриспресс, 2004.

15.Дежин В.В. Методические указания для организации самостоятельной работы по разделу «Функции комплексного переменного» курса «Математика» для студентов специальности 230201 «Информационные системы и технологии» очной формы обучения / В.В. Дежин, М.Л. Лапшина. ГОУВПО «Воронежский государственный технический университет», 2009.

16.Батаронов И.Л., Дежин В.В., Рощупкин А.М. Влияние центров пиннинга и рельефа Пайерлса на обобщенную восприимчивость дислокаций в реальных кристаллах // Изв РАН. Сер. Физическая. 1993. Т. 57. № 11. С. 97-105.

17.Ninomiya T. Dislocation vibration and phonon scattering

//J. Phys. Soc. Japan. 1968. V. 25, № 3. P. 830-840.

18. Батаронов И.Л., Дежин В.В. Обобщенная восприимчивость дислокационных осцилляторов // Физико-математиче- ское моделирование систем: Материалы II Международного семинара. Ч. 1. Воронеж: ВГТУ. 2005. С. 105-114.

19.Батаронов И.Л., Дежин В.В. Анализ выражения для обратной обобщенной восприимчивости дислокационных осцилляторов // Действие электромагнитных полей на пластичность и прочность материалов: Материалы VII Международной конф. Ч. 2. Воронеж: ВГТУ. 2007. С. 143-150.

20.Батаронов И.Л., Дежин В.В. Матричные элементы обобщенной восприимчивости дислокационных осцилляторов

впайерлсовской модели // Физико-матема-тическое моделирование систем: Материалы V Международного семинара. Ч. 1. Воронеж: ВГТУ. 2008. С. 94-98.

21.Батаронов И.Л., Дежин В.В. Численный расчет матричных элементов обобщенной восприимчивости дислокационных осцилляторов // Физико-математическое моделирование систем: Материалы V Международного семинара. Ч. 1. Воронеж: ВГТУ. 2008. С. 99-106.

198

22.Батаронов И.Л., Дежин В.В. К расчету матрицы обобщенной восприимчивости дислокационного сегмента // Физико-математическое моделирование систем: Материалы V Международного семинара. Ч. 1. Воронеж: ВГТУ. 2008. С. 107116.

23.Батаронов И.Л., Дежин В.В. Полюсное представление матричных элементов обобщѐнной восприимчивости дислокационных осцилляторов // Материалы VI Международного семинара «Физико-математическое моделирование систем». Часть 1. Воронеж. 2009. С. 167-171.

24.Батаронов И.Л., Дежин В.В. О колебаниях дислокационного сегмента // Вестник Тамбовского университета. Серия: Естественные и технические науки. 2013. Т. 18, вып. 4, ч. 2. С.

1566-1567.

25.Батаронов И.Л., Дежин В.В. Ориентационная зависимость колебательного спектра дислокационного сегмента // Материалы VI Международного семинара «Физикоматематическое моделирование систем». Часть 1. Воронеж. 2009. С. 146-154.

26Батаронов И.Л., Дежин В.В. Масштабная зависимость колебательного спектра дислокационного сегмента для различных типов дислокаций // Материалы VI Международного семинара «Физико-математическое моделирование систем». Часть 1. Воронеж. 2009. С. 155-160.

27.Батаронов И.Л., Дежин В.В. Зависимость колебательного спектра дислокационного сегмента от коэффициента Пуассона // Материалы VI Международного семинара «Физикоматематическое моделирование систем». Часть 1. Воронеж. 2009. С. 161-166.

28.Рощупкин А.М., Батаронов И.Л., Дежин В.В. Обобщенная восприимчивость дислокации в диссипативном кристалле // Изв. РАН. Сер. Физическая. 1995. Т. 59. № 10. С. 1216.

199

29.Батаронов И.Л., Дежин В.В., Рощупкин А.М. Функция отклика дислокации, взаимодействующей с точечными дефектами // Изв. РАН. Сер. Физическая. 1995. Т. 59. № 10. С. 60-64.

30.Батаронов И.Л., Дежин В.В. Динамические характеристики дислокации и дислокационное амплитуднонезависимое внутреннее трение // Вестник ВГТУ. 2006. Т. 2. №

8.С. 15-18.

31.Батаронов И.Л., Дежин В.В. Расчет динамических характеристик дислокаций с использованием выражения для обобщенной восприимчивости // Физико-математическое моделирование систем: Материалы III Международного семинара. Ч. 2. Воронеж: ВГТУ. 2006. С. 139-141.

32.Батаронов И.Л., Дежин В.В. Расчет дислокационного АНВТ с использованием выражения для обобщенной восприимчивости // Физико-математическое моделирование систем: Материалы III Международного семинара. Ч. 2. Воронеж: ВГТУ. 2006. С. 142-146.

33.Батаронов И.Л., Дежин В.В. Анализ влияния упругого взаимодействия дислокации с точечными дефектами на дислокационное АНВТ // Действие электромагнитных полей на пластичность и прочность материалов: Материалы VII Международной конф. Ч. 2. Воронеж: ВГТУ. 2007. С. 25-28.

200

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1920 / 2120 21 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.11.202212.74 Mб43733.pdf
#
15.11.202212.79 Mб13734.pdf
#
15.11.202213.19 Mб03742.pdf
#
15.11.202213.22 Mб03744.pdf
#
15.11.202213.44 Mб03749.pdf
#
15.11.202213.52 Mб03750.pdf
#
15.11.202213.78 Mб23756.pdf
#
15.11.202213.84 Mб03757.pdf
#
15.11.202214.07 Mб13760.pdf
#
15.11.202214.09 Mб03762.pdf
#
15.11.202214.86 Mб43773.pdf