3750

данной точке

z

и обозначается

f

z

(или

df

,

w ,

dw

), так

dz

dz

что по определению

f z

w

lim

w

.

z 0

z

Если z

x

iy ,

w

f z

u

x,

y

iv

x, y

, то в каждой

точке дифференцируемости функции

f

z

выполняются соот-

ношения

u

v

и

u

v

,

называемые условиями Коши-

y

x

x

y

x, y функции u

x,

y

и

v x, y

дифференцируемы

как

функции действительных переменных x

и

y

и, кроме того,

удовлетворяют условиям Коши-Римана, то функция f z

яв-

ляется дифференцируемой в точке z

x

iy

как функция ком-

плексного переменного

z .

Пусть z

rei

, тогда f

z

u

r,

iv r,

, и условия

Коши-Римана в полярных координатах имеют вид

u

1

v

,

v

1

u

.

r

r

r

r

Следовательно,

f

z

r

u

i

v

1

v

i

u

.

z

r

r

z

Определение 2. Функция w

f

z

называется аналити-

ческой в данной точке z

D ,

если она дифференцируема как в

самой точке z ,

так и в некоторой ее окрестности. Функция

w f z называется аналитической в области

D ,

если она

дифференцируема в каждой точке этой области.

Для любой аналитической функции

f

z

имеем

f z

u

i

v

v

i

u

u

i

u

v

i

v

.

x

x

y

y

x

y

y

x

Если f z

и

g

z

– аналитические в области D функ-

ции, то функции

f

z

g

z ,

f

z g z также аналитичны в

области D , а частное

f

z

g

z

– аналитическая функция во

всех точках области D ,

в которых g z

0 . При этом имеют

место формулы:

f

z g

z

f

z

g

z ,

f z g z

f z g z

f z g z ,

f z

f z g z

f z g z

.

g

z

g 2

z

Если w

f

z

– аналитическая в области D функция с

областью значений G

f

z

z

D

и функция

w

анали-

тична в области G , то сложная функция

F z

f

z –

аналитична в области D . Производная этой функции находит-

ся по обычному правилу:

F

z

dF

dw

.

dw

dz

Формулы

дифференцирования

аналитических

функций

комплексного

переменного

аналогичны

соответствующим

sin z

cos z ,

cos z

sin z ,

sh z

ch z ,

ch z

sh z .

Пример 14. Показать, что функция f

z

z3

аналитична

во всей комплексной плоскости (кроме z

) и найти ее про-

изводную.

Решение.

f z

x

iy 3

x3

3ix2 y

3xy2

iy3 , поэто-

му действительная

часть

u

x3

3xy2 ,

а

мнимая часть

v

3x2 y

y3 .

Проверим выполнение

условий

Коши-Римана,

для

чего

найдем

частные

производные:

u

3x2

3y2 ,

x

v

3x2

3y2

,

u

6xy ,

v

6xy .

Видно, что условия Ко-

y

y

x

как

u

v

и

u

v

. Следовательно, функция аналитична

x

y

y

x

функции:

f

z

u

i

v

3x2

3y2

i6xy

3 x

iy

2

3z2 .

x

x

Пример 15. Проверить функцию

f

z

zz

на аналитич-

ность.

Решение. Имеем f

z

zz

x

iy

x

iy

x2

y2 , так

что u

x2

y2 ,

v

0 . Условия Коши-Римана в этом случае

примут вид

2x

0

и удовлетворяются только в точке

0, 0 .

2 y

0

Следовательно, функция

f

z

zz

дифференцируема только в

точке z

0 и нигде не аналитична.

Пример 16. Проверить функцию

f

z

z Re z

на анали-

тичность.

Решение.

Имеем

f

z

z Re z

x

iy

x

x2

ixy , так

что u

x2 ,

v

xy . Условия Коши-Римана в этом случае при-

мут вид

2x

x и удовлетворяются только в точке

0, 0 .

0 y

Следовательно, функция

f

z

zz

дифференцируема только в

точке z

0 и нигде не аналитична.

Определение 3. Функция

x, y называется гармониче-

2

2

x, y

0 .

x2

y2

z0 и f

z0 C0 , то ее можно восстановить по одной из сле-

дующих формул

z z0

z z0

f z

2u

,

C ,

2

2i

0

z z0

z z0

f z

2iv

,

C .

2

2i

0

2)

Пусть известна

функция

u

x, y

–

действительная

часть аналитической в области

D функции f

z . Чтобы вос-

становить функцию

f z

, необходимо найти ее мнимую часть

v x, y

. Запишем v

x, y

dv

C

v

dx

v

dy C . Отсю-

x

y

да, пользуясь условиями Коши-Римана, получаем

v x,

y

u

dx

u

dy

C .

AB

y

x

Здесь точка

A x0 ,

y0

фиксирована, а точка

B

x, y произ-

вольная, A

D и

B D , интеграл не зависит от вида кривой

AB , C – произвольная постоянная, которая находится из до-

полнительного условия

f z0

C0 .

Если известна мнимая часть v

x, y

аналитической в об-

ласти D функции

f

z

, то аналогично получаем

u

x,

y

v

dx

v

dy

C .

AB y

x

3) Пусть известна функция u x, y

–

действительная

часть аналитической в области D функции f

z . Найдем

u

.

x

Из первого условия Коши-Римана получаем

v

u

. Отсюда

y

x

v x, y

v

dy

x

,

где

функция

x

пока

неизвестна.

y

Дифференцируя v x, y

по

x и используя второе условие Ко-

ши-Римана, получим

v

dy

x

u

,

откуда находим

y

y

x . Интегрируя, определяем

x

x dx

C .

Таким

образом, функция v x, y , а, следовательно,

и функция

f

z ,

определена с точностью до константы C , которая находится из

дополнительного условия f

z0

C0 . Заметим, что можно на-

чать решение с нахождения производной

u

.

y

Если известна мнимая часть

v

x, y

, то действительная

найти эту функцию, f 0

i .

Решение. Найдем производные:

u

6xy ,

2u

6 y ,

x

x2

u

3y2

3x2 ,

2u

6 y

Функция u

x, y

является гармониче-

y

y2

ской во всей плоскости, так как

2u

2u

6 y 6 y

0 . Сле-

x2

y2

что

f

z

u iv . Решим задачу тремя способами.

z

z0

z

z0

1) f

z

2u

,

C

, где

z

0

0 , C

i . То-

2

2i

0

0

гда

f

z

2u

z

,

z

i

2

z3

6

z3

i

iz3

i .

2

2i

8i

8i

x, y

u

u

2) Найдем v

x, y

dx

dy

C . Подставляя в

x0 , y0

y

x

этот

интеграл

выражения

для

производных,

получим

x, y

v x, y

3y2

3x2

dx

6xydy

C .

Интегрирование

x0 , y0

проведем по ломаной

M0M1M (рис. 2.1) со звеньями, парал-

лельными координатным осям. За точку

M 0

x0 , y0

примем

начало координат, т.е.

x0

0

и

y0 0 , тогда остальные точки

x

M1 x, 0

и

M

x,

y . Вычисляем интеграл:

v

x, y

3x2dx

0

y

x

y

6xydy

C

x3

3xy2

C

x3

3xy2

C .

Подставляя

0

0

0

функции

u

x, y

y3

3x2 y и

v

x, y

x3

3xy2

C в выра-

жение f

z

u

iv , получим

f z

y3

3x2 y i x3

3xy2

C

i x iy 3

iC iz3 iC .

Из условия

f

0

i

находим C

1 и окончательно получаем

M0(0,0)

0

M1(x,0)

x

Рис. 2.1

3)

Имеем

u

6xy .

По

первому

из

условий

Коши-

x

Римана

должно

быть

u

v

,

так что

v

6xy .

Отсюда

x

y

y

v x, y

6xy

dy

3xy2

x

,

где

функция

x

пока

неизвестна. Дифференцируя v

x,

y

по

x

и используя второе

условие

Коши-Римана,

получим

3y2

x

u

y

3y2

3x2 ,

откуда

x

3x2 . Интегрируя, определяем

x

3x2dx

x3

C .

Итак,

v

x, y

3xy2

x3 C , и,

сле-

довательно,

f z

y3

3x2 y

i

3xy2

x3 C

iz3

iC .

Из

условия

f

0

i

находим

C

1 и окончательно

получаем

f z iz3

i .

L

zn-1

z2

n

2

z1

zn

f

z . Разобьем эту кривую на n частей zk

1,

zk

точками z0 ,

z1 ,

,

zn , пронумерованными в направлении от

z0

– началь-

ной точки кривой L , до zn

– конечной точки кривой L , и на

каждой

части выберем

какую-нибудь

точку

k ,

где

k

1, 2,

, n (рис.3.1). Обозначим через

lk

( k

1, 2,

, n )

длину дуги

zk

1,

zk

и пусть l

max lk . Составим интеграль-

1 k n

ную сумму

n

f

k

zk

zk

1 .

(3.1)

k

1

Если при

l

0 существует конечный предел интегральных

сумм (3.1), не зависящий от выбора точек zk

и

k , то тот пре-

дел называется интегралом от функции f

z

по кривой L :

n

f

z

dz

lim

f

k

zk

zk

1 .

(3.2)

L

l

0 k

1

Пусть

z

x

iy ,

f

z

u

x, y

iv x, y

. Введем обозна-

чения

zk

xk

iyk ,

xk

xk

1

xk ,

yk

yk 1

yk ,

k

k

i

k . Тогда

n

n

n

f

k

zk

zk 1

uk xk

vk yk

i

vk xk

uk yk ,

k

1

k

1

k 1

где uk

u

k ,

k

, vk

v

k ,

k

. Переходя в этом равенстве к

пределу при l

0 , получаем

f

z

dz

L

u

x, y

dx

v

x, y

dy

i

v

x, y

dx

u

x, y

dy ,

(3.3)

L

L

u x, y dx v x, y dy и v x, y dx u x, y dy .

L

L