3750

Решение. Очевидно, что

z0 1

является особой точкой

функции f

z

. Используя разложение

2

4

6

cos

1

2!

4!

6!

и полагая

1

, получим лорановское разложение функции

z

1

f z

в окрестности точки z0 1:

f

z

z

1

1

1

1

1

2! z 1

2

4! z 1 4 6! z 1 6

z

1

1

1

1

2 z 1

4! z 1 3

6! z 1 5

5.1. Вычеты. Вычисление контурных интегралов

Пусть точка z0

есть изолированная особая точка функ-

ции

f

z

.

Вычетом функции

f

z в точке z0

называется

число

res

f

z

=res f z0

res f

z

, z0

1

f z dz ,

2 i

z

z0

z z

0

где

z

z0

– окружность с центром в точке z0

достаточно

делы области аналитичности функции

f

z

и не содержала

внутри других особых точек функции

f

z

. Обход контура

производится против часовой стрелки.

Если функция

f z

разложена в сходящийся ряд Лорана

в окрестности точки z0 , то вычет равен

res

f

z

, z0

c 1 ,

(5.1)

т.е. коэффициенту при степени n

1 .

Если функция

f z

аналитична в точке z0

или если z0

–

устранимая

особая

точка

для

f

z ,

то

res

f

z

, z0

0 .

Если z0

– полюс 1-го порядка для функции f

z

, то

res

f

z , z0

lim

f

z

z

z0

,

(5.2)

z

z0

если при этом f

z

z

, где функции

z

и

z – ана-

z

литические в точке z0 ,

z0

0 ,

z0

0 ,

z0

0 , то

res

f z

, z0

z0

.

(5.3)

z0

Если точка z0

– полюс k -го порядка

k

1

для функции

f

z , то

1

k

k

1

res f z

, z0

lim

f

z

z

z0

.

(5.4)

k 1 ! z z0

Если точка z0

есть существенно особая точка функции

f

z , то для нахождения

res f z0

необходимо найти коэф-

фициент c 1 в лорановском разложении функции

f z

в ок-

рестности точки z0 : это и будет res f

z0 .

Пример 1. Найти вычеты функции

f

z

sin z2

в ее

z3

z2

4

особых точках.

Решение.

Особыми точками функции

f

z

sin z2

z3

z2

4

являются нули знаменателя, т.е. точки z1

0 и z2

4 .

В точке z1

0 имеем

lim f z

lim

sin z2

lim

sin z2

.

z2

z 0

z 0 z2 z

4

4 z 0

4

Следовательно,

точка

z1

0

есть

устранимая

особая

точка

функции f z . Поэтому res f

0

0 .

В точке z2

4 имеем

f

z

sin z2

z

.

z2

4

Следовательно,

точка

z2

4 есть полюс первого порядка.

Согласно формуле (5.2) имеем

16

2

res f

lim

f

z

z

sin

.

4

4

2

16

z

4

Пример 2. Найти вычеты функции

f

z

ez

z

1 3 z 2

в ее особых точках.

Решение.

Особыми

точками

функции

f

z

являются

точки

z1

1

и

z2

2 .

Точка

z1

1

является

полюсом

третьего порядка. Согласно формуле (5.4) имеем

1

d

2

e

z

1

e

z

z

2

e

z

res f

1

lim

lim

z 2 2

2! z

1 dz2

z 2

2 z

1

1

ez z 2 ez ez

z 2 2

2 z 2 ez z 2 ez

lim

z 1 4

2 z

1

1

z2

6z

10 ez

17

lim

.

2 3

2 z

1

z

54e

Точка

z2

2 –

полюс первого порядка, поэтому по формуле

(5.2) имеем

res f

2

lim f

z

z

2

lim

ez

e3

.

1 3

27

z

2

z

2

z

Пример 3. Найти вычеты функции

f

z

1

в ее

z4

1

особых точках.

Решение. Особыми точками функции

f

z

являются ну-

ли знаменателя, т.е. корни уравнения z4

1. Имеем

i

i

3

i

3

i

z

e 4

,

z

2

e

4

,

z

e

4 ,

z

4

e

4 .

1

3

i

3

1

1

1

2

res f

z1

e

4

1

i

,

4

4z3

ei

4

8

z

1

ei

z

4

z

4

i

9

1

1

1

2

res f

z2

3

e

4

1

i

,

4z3

4

8

z

4

1

i

3

z

ei

4

4

z

e

i

9