3750

ch z

dz

ch z dz

ch z dz

. (*)

z 1 3

z 1

z 1 3 z 1

z 1 3

z 1

z

2

1

2

ch z

ch z

z

1

.

z

1 3

z

1

z

1 3

Функция

ch z

является аналитической внутри

1 ,

поэтому в

z 1

силу формулы (3.22) имеем

ch z dz

ch z

2 i

ch z

z

1

dz

1

z 1 3 z 1

1

z 1 3

2! z 1

z

1

i

sh z

z

1

ch z

z

1 2

z

1

2

ch z 2 z 1 sh z

2ch z

z

1

2e

1

ch1

i

i

.

z

1 3

z

1

4

ch z

ch z

z

1

3

.

z 1 3 z 1

z

1

Функция

ch z

является аналитической внутри

2 , поэтому

z 1

3

в силу интегральной формулы Коши (3.21) имеем

ch z

ch z dz

z 1

3

dz 2 i

ch z

i

ch1

.

2

z 1 3 z 1

2

z 1

z 1 3

z 1

4

ch z

dz

i

2e 1 ch1

i

ch1

i

.

z

2 z 1 3 z 1

4

4

2e

z1 z2

zn

zn ,

(4.1)

n 1

где zn xn iyn . Ряд (4.1) называется сходящимся, если

n -я

частичная сумма ряда Sn

при n

стремится к определен-

вается расходящимся. Sn

– это комплексное число:

n

n

Sn

xk

i

yn ,

k 1

k 1

Ряд (4.1) сходится тогда и только тогда, когда сходятся

ряды с действительными членами:

x1

x2

xn

xn ,

(4.2)

n

1

и

y1

y2

yn

yn ,

(4.3)

n

1

Если суммой ряда (4.2) является число A , а суммой ряда (4.3) –

число

B , то суммой ряда (4.1)

является комплексное число

S A

iB .

lim zn

0

– необходимое условие сходимости ряда с

n

комплексными

членами.

Для его

выполнения

необходимо и

lim xn

0 ,

lim yn

0 .

n

n

Теорема. Если сходится ряд, составленный из модулей

членов ряда (4.1):

z1

z2

zn

zn

,

(4.4)

n

1

где

z

n

x2

y2

, то сходится и ряд (4.1). В этом случае ряд

n

n

1 i

1

1

i

1

1

i

1

1

i

3

2

9

4

3n 1

2n 1

Решение. Ряды с действительными членами

1

1

1

1

и

1

1

1

1

3

9

3n 1

2

4

2n 1

щей геометрической прогрессии со знаменателями

q

1

и

1

3

q

1

.

Сумма первого ряда

A

1

3

,

а сумма второго

2

2

1

2

1

3

ряда

B

1

2 .

Следовательно,

сумма

рассматриваемого

1

1

2

ряда есть комплексное число S A

iB

3

2i . Рассмотрим

2

1

2

1

2

1

2

1

.

zn

2

2

3n 1

2n 1

2n 1

2n 1

Так как ряд

1

является бесконечно убывающей гео-

2

2n 1

n 1

метрической прогрессией со знаменателем q

1

, то он схо-

2

2

1

i

3

2

i

4

3

i

n 1

n

i

3

2

4

3

5

4

n 2

n

1

Решение.

Найдем

предел

общего

члена

lim zn

n

lim

n

1

n

i .

Так как

lim x

lim

n

1

1 и

n

n

2

n

1

n

n

n

n

2

lim yn

lim

n

1 , то lim zn

1 i

0 , т.е. не выполнен

n

1

n

n

n

ein

Пример 3. Исследовать на сходимость ряд

1

.

n

n2

Решение. Рассмотрим

zn

ein

1

. Так как ряд Ди-

n2

n2

1

рихле

является сходящимся (

2 1 ),

то исходный

1 n2

n

ряд с комплексными членами сходится абсолютно.

ei / n

Пример 4. Исследовать на сходимость ряд

.

n

1

n

Решение. Рассмотрим

zn

ei / n

1

. Так как гармони-

n

n

1

ческий ряд

является расходящимся, то исходный ряд с

1 n

n

Эйлера ei / n cos

i sin

. Вопрос о сходимости исходного

n

n

cos

тельных рядов с

действительными

членами

n

и

n

n 1

sin

. Сравним первый ряд с расходящимся рядом

1

n

, а

n 1 n

n

1 n

второй ряд со сходящимся рядом

1

:

1 n2

n

cos

/ n

sin / n

n

lim

n

1 ,

lim

.

1

1

n

n

n

n2

cos

sin

Получаем, что ряд

n

, а ряд

n

сходится. Следо-

n 1

n

n 1

n

c

c z

c z2

c zn

c zn ,

(4.5)

0

1

2

n

n

n

0

где c0 , c1,

– комплексные постоянные,

а z x

iy – ком-

c0 c1 z z0

c2 z z0

2

n

cn z z0

n

0

сводится к ряду (4.5) заменой z

z0

.

Теорема Абеля. Если степенной ряд (4.5) сходится при

некотором значении z

z0 , то он сходится и притом абсолют-

но при всех значениях

z , для которых

z

z0

. Если ряд (4.5)

расходится при z

z1 ,

то он расходится и при любом значении

z , для которого

z

z1

.

Область сходимости степенного ряда (4.5) есть круг на

плоскости комплексной переменной z

с центром в начале ко-

ординат, его называют кругом сходимости.

Радиус круга сходимости

R называют радиусом сходи-

R

lim

cn

(4.6)

cn 1

n

или

R

1

lim

1

,

(4.7)

lim

n

c

n

n

c

n

n

n

ряда

cos in zn .

n

0

Решение. По формуле Эйлера имеем

en

e

n

cn cos in

ch n .

2

R lim

ch n

lim

ch n

lim

ch n

ch n 1

ch n

1

ch n ch1

sh n sh1

n

n

n

lim

1

1

e 1

,

ch1

th n sh1

ch1

sh1

n

так как

lim th n

lim

en

e

n

lim

1

e

2n

1 . Итак, ра-

en

e n

1 e 2n

n

n

n

диус сходимости данного степенного ряда

R

1 e .

Пример 6. Определить радиус сходимости степенного

ряда

1 i n zn .

n

0

Решение. Предварительно найдем

1 i n

n

n

2n / 2 .

c

1 i

2

n

степенного ряда

R

lim

1

1

.

n

n / 2

2

n

2

Пример 7. Определить область сходимости степенного

2i

n z

3i

n

ряда

.

3i n

n 1

7

2i

2

2

1

lim n

c

,

n

n

7

3i

2

2 4

2

7

3

то R

2 – радиус сходимости. Тогда область сходимости оп-

ределяется неравенством

z 3i

2 , Это круг с центром в точ-

ке z0

3i и радиусом