3750

Решение.

z

c

– расстояние между точками

z

и

c ,

z

c

– расстояние между точками

z

и

c . По условию сумма

расстояний от точки

z до двух данных точек z1

c

и z2

c

есть величина постоянная. Значит,

точка

z лежит на эллипсе.

Уравнение

этого

эллипса имеет

вид

x2

y2

1,

где

a2

b2

b2

a2

c2 .

Пример 1.16.

Какая

кривая определяется уравнением

Re

1

1

?

z

4

Решение.

Так

как

z

x

iy ,

то

Re

1

Re

1

z

x

iy

Re

x

iy

Re

x

iy

x

1

.

Следовательно,

(x

iy)(x

iy)

x2

y2

x2

y2

4

x2

y2

4x

0 . Это окружность

x

2 2

y2

4 (рис. 1.5).

y

x

2

4

Пример 1.17. Границей

области 0

z 2

1 является

точка z 2 и окружность

z

2

1 , ориентированная против

y

1

2

3

x

плоскости определяется условием

arg z

1

i

3

?

2

4

Решение. Комплексное число z 1 i

z

( 1

i)

изо-

бражается вектором, началом которого является точка

1

i , а

arg z 1 i

и он меняется от

до

3

. Следовательно, дан-

4

2

из точки 1 i и образующими с осью Ox

углы

и

3

4

2

-1

x

в точку z

нужно рассматривать на сфере Римана.

Пример 1.21. Следующие области расширенной ком-

плексной плоскости являются односвязными:

а)

z

1 ;

б) вся расширенная комплексная плоскость;

в) z

a – вся расширенная комплексная плоскость с вы-

по отрезкам

0, 1 и i, 2i ;

в) 1

z

.

во

G плоскости w , являющееся

совокупностью значений

f

z , соответствующим всем z D .

функция w

f z

, если каждой точке z

D поставлено в соот-

ветствие несколько комплексных чисел

w .

Функция w

f z

называется однолистной в области D ,

если любым различным значениям z1

z2 , взятым из области

D , соответствуют различные значения

f z1

f z2 .

Пусть z

x

iy и

w u iv . Тогда функция w f z мо-

функций u

u

x,

y

и v

v

x, y

действительных переменных

x и y :

w

f

z

u

iv

u

x, y iv x, y

, где

u x, y

Re f z , v x, y

Im f z .

Пример

1.

Найти

действительную и

мнимую

части

функции f

z

iz2

z .

Решение. Полагая z

x

iy , находим

f z

u x, y

iv x, y

i x iy 2

x iy

i

x2

2ixy

y2

x

iy

x

2xy

i x2

y2

y .

Таким образом

Re f z

u x, y

x 2xy ,

Im f z

v x, y

x2

y2

y .

Пример 2. Определить функцию w

f

z

по известным

действительной

и

мнимой

частям:

u

x, y

x2

y2

2 y

1 ,

v x, y

2xy

2x .

Решение. Так как z

x

iy

и z

x

iy ,

то x

1

z

z

и

2

y

i

z

z

.

Тогда

u

x, y

x2

y2

2 y

1

1

z z 2

2

4

1

z z 2

i z z

1

1

z2

z 2

i z z

1;

v x, y

4

2

2xy

2x

i

z2

z 2

z

z .

Следовательно,

w

u

iv

2

1

z2

z 2

i z z

1

1

z2

z 2

i z z

z2

2iz 1.

2

2

Пример 3. В какую кривую отображается единичная ок-

ружность

z

1 с помощью функции w

z2 ?

Решение. Так как по условию

z

1 ,

то

w

z

2

1. По-

этому образом окружности

z

1 в плоскости

z

является ок-

ружность

w

1

в плоскости

w , проходимая дважды.

Это

следует из того, что поскольку

w

z2 , то Arg w

2Arg z

2k

,

так что когда точка

z описывает полную окружность

z

1, то

ее образ описывает окружность

w

1 дважды.

Пример 4. Найти область однолистности функции w

z2

.

Решение. Пусть

z

r ei 1

и z

2

r ei

2 . Найдем условие,

1

1

2

при котором z2

z2

, хотя z

z

2

. Имеем

r2e2i 1

r2e2i 2 . От-

1

2

1

1

2

сюда заключаем,

что

r1

r2 , а

2

2

2 1

2k ( k

0, 1).

Так

как z1 z2 , то

2

1

. Таким образом, область однолист-

положим w

a

z , w

w ei arg a ,

w

w

b . Нетрудно видеть,

1

2

1

3

2

что w

w1

w2 w3 . Из геометрического смысла произведения

и суммы комплексных чисел ясно, что отображение

w1 есть

отображение растяжения (сжатия при

0

a

1), отображение

w2 представляет собой поворот всей плоскости w1

относи-

тельно начала координат на угол

arg a

и отображение w3

есть параллельный перенос плоскости

w2

на вектор,

изобра-

жающий комплексное число b .

2

Пример 6. Найти все значения функции w

z в

2

точке z0

i .

Решение. Данная функция является многозначной (имеет

два значения). Так как

i

1 и

arg i

, то в соответствии с

2

i

2

2k

2

2

( k

0, 1). Таким образом,

wk

e

2

i

2

2

2

4

,

w

e

cos

i sin

i

0

2

2

4

4

2

ei

5

2

2

5

5

2

.

4

w

cos

i sin

2

i

0

2

2

4

4

2

a zn

a zn 1

a

f z

0

1

n

,

n, m N .

b zm

b zm 1

b

0

1

m

Частными случаями этой функции являются:

а) линейная функция

az

b ,

a, b

C , a 0 ;

б) степенная функция

zn ,

n

N ;

в) многочлен

a zn

a zn 1

a

;

0

1

n

г) дробно-линейная функция

az b

,

a, b, c, d C ,

c 0 ,

ad bc 0 ;

cz d

д) функция Жуковского

1

z

1

.

2

z

2. Показательная функция

ez

определяется как сумма

ez

z2

z3

zn

пенного ряда

1 z

.

2!

3!

n!

Показательная функция ez

обладает следующими свой-

ствами:

а)

ez1

z2

ez1 ez2 , где z

и z

2

– любые комплексные числа;

1

б)

ez

2k

i

ez

( k Z ),

т.е.

ez

является периодической

функцией с периодом 2 i ;

в) функция ez

непрерывна на всей комплексной плоскости;

г) для любого комплексного z

x

iy имеют место равенст-

ex ,

arg ez

ва

ez

y ;

д)

функция

ez

принимает все значения, кроме нуля, т.е.

уравнение

ez

A разрешимо для любого комплексного числа

sin z

z

z3

z5

1

n

z2n 1

,

3!

5!

2n

1 !

cos z 1

z2

z4

1

n z

2n

,

2!

4!

2n !

абсолютно сходящимися при всех значениях z .

Для функций ez ,

sin z

и cos z

имеют место формулы Эй-

лера: eiz cos z

i sin z

и e

iz

cos z

i sin z . Откуда следует:

eiz

e iz

eiz

e

iz

cos z

и sin z

.

(2.1)

2

2i

Функции

sin z

и

cos z

обладают следующими свойства-

ми:

а) функции

sin z

и

cos z

непрерывны на всей комплексной

плоскости;

б) функции sin z

и cos z

принимают все значения, т.е. урав-

нения sin z A

cos z

A

имеют решения для

любого ком-

плексного числа A ;