3750

будем считать, что луч

arg z

0 (т.е. положительная полуось на

плоскости z ) отображается на верхний, а луч arg z

– на

нижний берег этого разреза.

Итак, функция w

z2

однолистна в верхней полуплоско-

еще,

что при отображении w z2 , полуокружность

z

ei (

2

0

) перейдет в незамкнутую окружность

w

(точки

w

2

и w

2e2 i , являющиеся образами точек

z

и

1

2

1

z2

ei

, совпадают, но лежат на разных берегах указан-

Функция w

z2 является однолистной и в нижней полу-

плоскости и отображает область Im z 0 на плоскость

w с

разрезом вдоль

положительной

действительной полуоси

(рис. П.1.4). При этом отображении лучи arg z

и arg z

2

, образующие границу области Im z

0 , переходят соответст-

arg z

(

0 , – достаточно малó), который примыка-

ет к лучу

arg z

, переходит в луч

arg w

2

2 , располо-

женный

выше верхнего берега разреза. Аналогично, луч

arg z 2

переходит в луч arg w

4

2

, примыкающий

Отметим еще, что при отображении w z2

правая полу-

плоскость ( Re z 0 ) и левая полуплоскость ( Re z

0 ) перехо-

Пример 4. Рассмотрим отображение

w ez .

(П.1.8)

Если ez1 ez2 , т.е.

ez1 z2

1, то

z1 z2

2k i

( k 0, 1, 2, ).

(П.1.9)

частности, отображение w

ez

является однолистным в гори-

зонтальной полосе a Im z

b ,

0 b a 2 .

Рис. П.1.5

Рассмотрим полосу D1 : 0

Im z 2

(рис. П.1.5). При

отображении

(П.1.8)

прямая z

x iC

( C

– фиксировано,

0 C

2 ,

x

), параллельная действительной оси и

лежащая в полосе D ,переходит в линию

w

ex iC exeiC , т.е.

1

в луч

arg w

C . Будем двигать прямую z

x

iC параллельно

действительной оси,

непрерывно увеличивая C от

0

до

2 .

Тогда луч arg w C ,

являющийся образом прямой

z

x

iC ,

w . При этом прямые

z

x

и

z

x

i2

(

x

), обра-

зующие границу полосы

D1 ,

отобразятся соответственно на

лучи arg w 0 и arg w

2

. Таким образом, функция

w ez ,

однолистная в полосе D1 : 0

Im z

2

,

отображает эту полосу

на плоскость с разрезом по лучу

0,

так, что нижний край

(П.1.8) отрезок

z

C1

iy ( C1

– фиксировано, 0

y 2

), ле-

жащий в полосе D1 и параллельный мнимой оси, переходит в

незамкнутую окружность w

eC1 eiy ( 0

y

2 ) радиуса eC1

(точке z

C

соответствует

точка

w

eC1

верхнего

берега

1

1

1

разреза, а точке z

2

C

i2

– точка

w

eC1 e2

i , лежащая на

1

2

w1 ).

Аналогично

можно показать,

что

полоса

D2 :

2 Im z 4 отобразится функцией w

ez

на плоскость с

разрезом по лучу 0,

так, что нижний край полосы D2

пе-

функция

w

ez однолистна в полосе

D

: 2(k

1)

Im z 2k

k

( k – целое) и отображает эту полосу на плоскость

w с разре-

зом по лучу

0,

.

Пример 5. Рассмотрим отображение

w

Ln z .

(П.1.10)

Все значения этой функции в точке z

даются формулой

2, .

Ln z

ln z

i2k

ln

z

i arg z 2k

k

0, 1,

Следовательно,

Ln z – бесконечнозначная функция, т.е. в каж-

дой точке z 0,

эта функция имеет бесконечно много зна-

сти. Тогда точка a

называется изолированной точкой ветвле-

ния функции F (z) .

Так, точки 0

и

являются изолированными точками

ветвления функции Ln z .

Приведем другое определение точки ветвления. Пусть

функция F (z) аналитична в кольце 0

z a

r .Возьмем точ-

ку z0 из этого кольца и элемент f0 (z)

в точке z0

и аналитиче-

ски продолжим этот элемент вдоль окружности

z a

z0 a

ным элементом

f0 (z) , то точка

a

является

изолированной

точкой ветвления функции F (z) .

Логарифм обладает следующим свойством. При обходе

вокруг точки z

0 в положительном направлении

Ln z

Ln z

2

i ,

(П.1.11)

т.е. элемент логарифма получает приращение

2 i . При обхо-

де вокруг точки z 0 в отрицательном направлении

Ln z

Ln z

2

i .

(П.1.12)

Это свойство следует из соотношения

Ln z

Ln z0

d

,

мент.

Можно

по-разному выбирать элементы,

из которых

«склеена» аналитическая функция.

Пусть D – произвольная односвязная область, не содер-

жащая точек 0

и

. Фиксируем точку

z0

D

и значение

Ln z0 .

Аналитически продолжив элемент

f (z)

логарифма (

f (z0 )

Ln z0 ) по всем путям, которые выходят из точки z0 и

лежат в области D , получим однозначную в области D функ-

цию

f (z) . Полученная однозначная аналитическая функция

называется регулярной ветвью логарифма в области D . Вы-

брав в точке z0

другое значение логарифма, получим другую

регулярную ветвь логарифма в этой области.

Выберем в качестве D плоскость с разрезом по лучу

, 0 . Функция Ln z в этой области распадается на беско-

нечное число однозначных ветвей. Эти ветви имеют вид

2, .

fk (z)

ln

z

i arg z 2k i k 0,

1,

Dk ( k 0, 1,

2,

) и будем считать, что в области Dk

задана

регулярная функция

fk (z) . Теперь склеим области Dk

(«лис-

ты») в одну поверхность. Пусть lk – разрез

, 0 на листе

Dk и пусть lk ,

lk – верхний и нижний берега разреза соответ-

ственно. Если z

x

0 , то

fk (x) ln

x

(2k 1) i ,

x lk ,

(2k 1) i ,

x lk ,

fk (x) ln

x

так как arg x

, x lk

. Следовательно,

fk

(x)

fk (x)

.

lk

lk

1

разрез 0,

.

Пример 6. Рассмотрим отображение

w z .

(П.1.13)

возникает в случае, когда функция z

является конечнознач-

ной. Рассмотрим риманову поверхность функции

z . Пусть D

– плоскость с разрезом по лучу

, 0 . Тогда функция z

распадается в

D на две однозначные ветви

f1(z)

и f2 (z) , та-

кие, что f1(1)

1 и

f2 (z)

f1(z) . Возьмем два экземпляра D1 ,

D2 области D и будем считать, что функция

fk (z) определена

в области Dk . Тогда при z

Dk

rei

2 ,

f

rei

.

1,2

Пусть lk – разрез на листе Dk ,

а lk

и lk

– соответственно

верхний и нижний берега разреза. Так как

на lk , то

f1(z)

z l1

f2 (z)

z l2

,

f1(z)

f2 (z)

.

z l1

z l2

функция

z однозначна, необходимо склеить верхний берег

разреза l1

с нижним берегом разреза l2

и, аналогично, склеить

l1 с l2

(крест-накрест). Получится

риманова поверхность

Аналогично строится риманова поверхность функции n z

. Возьмем n экземпляров D0 ,

, Dn 1 области D (плоскость

с разрезом по лучу

, 0

). В области

Dk

рассмотрим регу-

лярную функцию

n

2k ) n

z rei

f

k

(z)

rei(

,

,

,

k 0, 1, 2, .

Тогда

fk (z)

fk

1(z)

.

Склеим берег

l0

с берегом

l1 ,

z

lk

z lk

затем l1 с l2

и т.д.,

и, наконец,

ln 1

с l0 . Тогда мы получим

риманову поверхность функции

n z , которая имеет самопере-

сечения.

Заметим, что

риманова

поверхность

функции

n z

при

любом целом n односвязна.

Пример 7. Вычислим все значения функции z z

в точке i

.

2k

ii

eiLni

ei[ln

i

i(

2 2k

)]

e

2

,

k

0,

1,

2, .

Пример 8. Функция

F (z)

cos

z аналитична в области

0

z

. Покажем, что эта функция однозначна. Известно,

что функция

z распадается на две однозначные ветви f1(z) и

f2 (z) ,

такие,

что f2 (z)

f1(z) .

В силу

четности косинуса

cos f1(z) cos f2 (z) , поэтому функция cos

z однозначна. Точ-

ка

z

0 является устранимой особой точкой, следовательно,

– целая функция. Единственной ее особой точкой явля-

cos

z

ется существенно особая точка z

.

Пример 9. Функция

F (z)

(sin

z )

z также является

целой функцией.

1. Сохранение угла между кривыми. Пусть функция

w

f (z) дифференцируема в некоторой окрестности точки z0

и пусть

f (z0 )

0 . Рассмотрим гладкую кривую

: z

(t) ,

t

(рис.

П.2.1),

проходящую через точку

z0

(t0 ) ,

t0

,

. Обозначим

угол, образуемой касательной к кри-

вой

в точке

z0 и положительным направлением действи-

рону, что и кривая). Тогда

arg

(t0 ) .

z

w

’

z0

w=f(z)

w0

’

Рис. П.2.1

Пусть

– образ кривой

при отображении

w f (z) ,

т.е.

:

w

w(t)

f [

(t)] ,

t

, а точка

w0 – образ точки

z0

( w0

f [ (t0 )]

f (z0 ) ).

По

правилу

дифференцирования

сложной функции

w (t0 )

f (z0 )

(t0 ) .

(П.2.1)

Так как по условию

f (z0 ) 0

и

(t0 )

0

(см. п. 1.4), то

w (t0 ) 0 , т.е. кривая

имеет касательную в точке

w0 . Пусть

arg w (t0 )

. Тогда из (П.2.1) находим

arg w (t0 ) arg f (z0 ) arg

(t0 ) ,

т.е.

arg f (z0 ) .

(П.2.2)

Величина

называется углом поворота кривой

в

дует, что если f

(z0 )

0 ,

то угол поворота в точке z0 не зави-

сит от кривой и равен

arg f (z0 ) , т.е. все кривые, прохо-

дящие через точку

z0 ,

поворачиваются при отображении

w f (z) ( f (z0 )

0 ) на один и тот же угол, равный аргумен-

ту производной в точке z0 .

Таким образом, отображение w

f (z) , где

f (z) – диф-

ференцируемая в окрестности точки z0

функция и

f (z0 ) 0 ,

z

2

w

’

1

w=f(z)

w0

’

z0

2

’

Рис. П.2.2

1

Пример. Найдем угол поворота

при отображении

w

f (z) в точке z0 .

а) Пусть f (z)

z

z0

, где Im z

0

y

0 . Тогда

z

z0

0