Избранные главы математики. Бырдин А.П., Заварзин Н.В

может быть или максимум, или минимум или не не быть ни максимума, ни минимума. В этом случае исследование нужно вести с помощью первой производной.

21

2) Определяем знак второй производной при x 0 : y 12x2 , ( y) x 0 0.

Следовательно, выяснить характер критической точки с помощью второй производной в данном случае нельзя.

3) Исследуем характер критической точки с помощью первой производной

отрезке [a,b] . Как известно, такая функция достигает своего

наибольшего и наименьшего значений либо на границе отрезка, либо внутри него. Если наибольшее (или наименьшее) значение функции достигается во внутренней точке x0 отрезка,

то это значение является максимумом (или минимумом)

нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке [a,b] .

1.Находим все критические точки функции в интервале (a,b) и вычисляем в них значения функции.

2.Вычисляем значения функции на концах отрезка – в

точках x a и x b .

3. Из всех этих значений выбираем наибольшее и наименьшее.

22

З а м е ч а н и е. Очевидно, если непрерывная на отрезке функция имеет во внутренней точке этого отрезка только один экстремум, то в этой точке она имеет наибольшее значение в случае максимума и наименьшее – в случае минимума.

Пример 3. Найти наибольшее и наименьшее значения

Вычисляем значения функции в этих точках:

Наименьшее значение функции yнаим 2 достигается в точке

x1.

5.Применение теории максимума и минимума к решению задач. Изложенную теорию максимума и минимума функции можно применить к решению практических задач.

Пример 4. Из квадратного листа жести со стороной a требуется сделать открытый сверху ящик, возможно большего объема, вырезая равные квадратные уголки и загибая жесть (рис. 11). Какова должна быть сторона вырезаемых квадратных уголков?

Решение. Пусть сторона вырезаемого квадрата равна x ,

23

является ее наибольшим значением. Итак, коробка имеет наибольший объем, если сторона вырезанного квадрата равна a6 .

Рис. 11 Рис. 12

Пример 5. Найти высоту цилиндра наибольшего объема, который можно вписать в данный прямой конус (рис.12).

24

переменных x и y . Однако можно составить уравнение, связывающее эти переменные.

Из подобия треугольников AOB и DCB находим

DC : CB OA : OB , или x : (h y) R : h .

Отсюда x R(h y)h . Подставляя это выражение x в формулу для вычисления объема цилиндра, получаем

Очевидно, что переменная y может принимать значения от 0

до h . Найдем наибольшее значение этой функции в интервале

(0, h) .

Находим производную от функции V по переменной y :

Приравниваем производную нулю и находим критическую точку в интервале (0, h) :

Это максимальное значение является наибольшим.

6. Направление выпуклости и точки перегиба графика функции. Пусть функция y f (x) дифференцируема на

интервале (a,b) . Тогда существует касательная к графику

25

Определение 1. Будем говорить, что график функции имеет на (a,b) выпуклость, направленную вниз (вверх), если он расположен не ниже (не выше) любой касательной к графику функции на (a,b) (рис. 13).

Рис. 13

Теорема 11. Если функция y f (x) имеет на интервале

выпуклость, направленную вниз (вверх).

Определение 2. Точка М( x0 ; f (x0 ) ) называется точкой перегиба графика функции y f (x) , если в точке М график имеет касательную, и существует такая окрестность точки x0 , в пределах которой график функции y f (x) слева и справа от точки x0 имеет разные направления выпуклости.

Очевидно, что в точке перегиба касательная пересекает график функции, так как с одной стороны от этой точки график лежит под касательной, а с другой – над нею, т.е. в окрестности точки перегиба график функции геометрически переходит с одной стороны касательной на другую и «перегибается» через неё. Отсюда произошло название «точка перегиба» (рис. 14).

26

Теорема 13 (достаточное условие точки перегиба). Пусть

имеет вторую производную в некоторой окрестности точки x0 , за исключением самой точки x0 , и существует касательная к

графику функции в точке М. Тогда, если в пределах указанной окрестности f (x) имеет разные знаки слева и справа от точки

28

перегиба графика функции исследуется с помощью второй производной.

В качестве примера возьмем функцию f (x) x3 3x,

которую начали рассматривать в п.2. Знак второй производной будем отмечать на вспомогательном чертеже, изображенном на рис.10. Находим вторую производную: f (x) 6x. Из уравнения 6х = 0 получаем одну критическую

направлена вниз), т.е. точка O(0;0) является точкой перегиба

графика рассматриваемой функции. Этот график схематически изображен на рис. 18.

Рис. 17

7. Асимптоты графика функции. При исследовании поведения функции на бесконечности, т. е. при х и при х или вблизи точек разрыва второго рода, часто оказывается, что график функции сколь угодно близко приближается к той или иной прямой. Такие прямые называют

29