= 0

Правило 6. Единичный тензор

1

0 = ∙ı ı+ ∙ + ∙

l

0

0

1

(3.17)

1

0

0

В гидромеханике важную роль играют следующие

основные понятия векторного анализа:



дивергенция вектора;



градиент скаляра;



ротор вектора.

∆

– скорость;

= lim∆ →0

(3.18)

∙ ,

В общем случае они определяются интегралами

= ∆→0

∙

;

(3.19)

p – давление;

∆

– вектор внешней нормали;

представляет

= ∆ →0

∆

∙

;

(3.20)

Разберём

наибольший интерес.

физическое содержание этих понятий при-

менительно к задачам гидромеханики.

3.2.1.

(дивергенция скорости)

а) первая интерпретация

Подынтегральное выражение равенства

(3.18) со-

держит скалярное произведение скорости на единичный

∙

нормальный вектор к элементарной площадке dF. Величи-

на

есть не что иное, как нормальная составляющая

скорости

по отношению к площадке dF.

Произведя интегрирование по всей замкнутой по-

верхности F, ограничивающей некоторую часть простран-

ства объёмом

, получим расход жидкости Q, протекаю-

объём в единицу времени.

щей через этот∆

Если разделим этот расход жидкости на величину

объёма

, то получим среднее значение расхода, прихо-

на единицу выделенного объёма .

дящееся∆

∆→

Если перейдем к пределу при

0 найдем не

среднее,

а истинное значение

удельного расхода жидкости

∆

ный объёмный расход жидкости в этой точке пространства,

где эта величина вычисляется.

Замечание 1: если вместо вектора скорости возь-

на

мем вектор, равный произведению скорости жидкости

её плотность (т.е.

), то, проведя аналогичные рассужде-

ния, получим, что:

представляет собой удельный

но малый объём, окружающий какую-то точку пространства.

Примечание: именно такой смысл будем вкладывать

в понятия

и

при рассмотрении нашего курса

гидромеханики.

объёме ΔV, и будем следить за её

перемещением в про-

странстве.

Рассмотрим элементарную часть

поверхности ,

отделяющей выделенный объём от

остальной массы жид-

кости.

Пусть

площадка

характеризуется

единичным

.

, а скорость жидкости на её по-

нормальным вектором

верхности – вектором

Вследствие

движения

поверхности

все точки,

площадке

′ поверхности ′ (рис. 3).

за интервал

принадлежащие площадке

,

переместятся

и займут новое положение на

времени

на расстояние

Элемент

поверхности

за время опишет в про-

странстве объём .

Рис. 3. Геометрическое изображение движения

∆

за время , может быть

, которое получит объём

Полное приращение

ментарные приращения,

найдено, если сложить все эле-

т.е.

проинтегрировать

по всей

Разделив

=

замкнутой поверхности F:

.

(*)

выражение (*) на интервал времени dt и на

величину исходного объёма

, получим секундное отно-

выделенной массы жидкости.

сительное изменение объёма ∆

Устремив объём

,

приведем к выражению

(3.18).

для дивергенции скорости∆ → 0

товаться как относительное секундное изменение объёма

где D – символ

= ∆

1

∆

жидкости.

∆ одной и той же бесконечно малой частицы,

(3.21)

скорости придается двоякий смысл:

1.

При рассмотрении различных точек про-

странства

исчисляется как удельный объёмный рас-

ход жидкости, протекающий

через поверхность бесконечно

малого объёма, описанного вокруг избранной точки.

2.

При слежении за одной и той же элементар-

ной массой жидкости

рассматривается как скорость

относительного изменения объёма

этой массы.

жительное значение дивергенции скорости.

Примечание: будем считать, что в области

задано

скалярное поле, если в каждой точке

определена

Скалярное = ( , ) = ( , , , ).

скалярная величина

поле называется

однородным,

если во

новившимся, если в каждой точке поля величина скаляра

Возникает

( , , ).

не зависит от времени.

Тогда очевидно

=

вопрос – как оценить степень нестацио-

поля?

В качестве меры нестационарности естественно

принять величину частной производной

в каждой

+

=

+

= ( , ) + ( , ) + ( , )

=

+

+

Тогда равенство

= ∙

(**)

(*) можно

представить в виде:

Из равенства (**) видно, что изменчивость

скаляр-

ного поля в данный момент времени по различным направ-

лениям характеризуется помимо орта направления

еще и

вектором градиента скалярного поля. Поэтому величину

grad

можно принять в качестве меры неоднородности

скалярного поля.

Вектор градиента является дифференциальным опе-

градиента.

задано

тор

Будем считать, что в некоторой области

векторное поле, если в каждой точке

определен век-

+

+

= ( , ) = ( , , , ) =

Очевидно, что задание одного векторного .поля эк-

= ( , , , )

вивалентно заданию трех скалярных полей.

= ( , , , )

В векторном

= ( , , , )

поле могут быть определены три диф-

ные поля.

Рассмотрим производную

вектора

по направле-

нию

в фиксированный момент времени.

Как известно:

=

+

+

(*)

или в

проекциях на о=си

+

+

=

+

+

+

=

+

,

,

Известно, что произведением тензора Р на вектор

с проекциями

называется новый вектор , проек-

=

+

+

(**)

ции которого определяются

следующими равенствами

:

=

+ +

=

+

+

Сопоставляя равенства (*) и (**), мы видим, что ве-

личину производной

можно представить в виде про-