производную , выражающую скорость изменения пара- |
|||||||||
где |
= lim |
|
∆ |
–= ∫ |
|
+ ∫ , |
(4.35) |
||
|
|
|
|
∆ |
|
|
|
||
метра П рассматриваемой |
массы жидкости, т.е. |
||||||||
|
|
|
∆ →0 |
∆ |
|
есть скорость по нормали |
к поверхно- |
||
сти |
= lim∆ →0 |
|
|
|
|
|
|||
∆ |
|
|
|
|
|
||||
F. |
|
|
∆ → 0 |
|
|
|
|
||
ми высших |
|
|
|
|
|
||||
|
При этом все остальные слагаемые при переходе к |
||||||||
пределу при |
|
|
|
пропадают, являясь бесконечно малы- |
|||||
|
Замечание: |
|
|
. |
|
||||
|
|
порядков по сравнению с |
|
||||||
1. Соотношение (4.35) показывает, что полное изменение интегральной величины П по времени состоит из её местного изменения в фиксированном объёме V и потока этой величины через поверхность, ограничивающую указанный объём в данный момент времени.
Здесь под потоком любой величины через поверх-
2. |
|
= |
|
|
. |
ность F понимаем интеграл вида |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
Субстанциональная производная складывается из локальной и конвективной составляющих.
4.5. Интегральная запись законов сохранения материи, количества движения и момента количества движения
Для ввода интегральных записей законов сохранения используют формулу (4.35).
94
4.5.1. Закон сохранения материи
Под интегральной характеристикой П будем понимать массу М, а под удельной величиной π – плотность ρ.
Согласно закону сохранения массы, материя не мо-
жет возникнуть или исчезнуть. |
Это значит, что субстан- |
|||
это и есть |
= ∫ |
|
∫ = 0, |
(4.36) |
+ |
|
|||
циональная производная |
должна быть равна нулю, т.е. |
|||
|
|
|
|
|
|
математическая запись закона сохранения массы |
|||
в интегральной форме. |
|
|
|
|
Замечание: уравнение (4.36) можно прочитать сле- |
||||
дующим образом:
Секундная убыль или прирост массы в объёме V определяется расходом вещества через поверхность, ограничивающую данный объём.
4.5.2. Закон количества движения
Из физики известна формулировка этого закона: Скорость изменения количества движения некото-
рой материальной системы равна главному вектору всех |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
высших сил, действующих на систему. |
|
|||||||||||
|
|
Обозначив |
|
суммарную величину количества дви- |
||||||||
ны равна произведению |
из (4.35) находим: |
(4.37) |
||||||||||
жения и помня, что |
удельная характеристика этой величи- |
|||||||||||
|
|
|
= ∫ |
|
+ ∫ |
|
= , |
|
||||
где |
|
– главный |
вектор |
высших |
сил. |
|
|
|||||
|
|
|||||||||||
95
Замечание:
1. Оказывается, что уравнения движения можно получить, положив в основу вместо законов Ньютона некоторые другие общие положения, в частности принцип
Д’Аламбера (Даламбера), который следует из закона коли- чества движения после=введения− =новой− величины, :
имеющей размерность силы и называемая силой инерции. Принцип д’Аламбера для системы:
Если в любой момент времени к каждой из точек системы кроме действующих на нее высших и внутренних сил присоединить соответствующие силы инерции, то полученная система сил будет уравновешенной и к ней можно применить все уравнения статики.
Или в другой формулировке: равнодействующая всех сил (поверхностных и массовых), приложенных к жидкости в объёме V, должна быть равна нулю.
2. Для практического применению формулы
(4.37) бывает полезно выделить из всех внешних сил от- |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
= − |
∫ |
, |
|
|
|
|
|
дельно силы давления, определяемые интегралом |
|
||||||||||||
здесь знак минус указывает |
|
|
|
|
|
|
(4.38) |
||||||
,что давление направлено (дей- |
|||||||||||||
|
|
|
не по внешней нормали |
, а по внутренней. |
|
||||||||
ствует)Вводя этот интеграл в формулу |
(4.37), получим: |
||||||||||||
|
′ |
|
∫ |
|
+ ∫ ( |
+ ) = |
′ |
, |
(4.39) |
||||
|
– обозначен |
главный |
момент всех прочих сил, ис- |
||||||||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
ключая |
силы давления. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
96
4.5.3. Закон моментов количества движения
Из физики известна формулировка этого закона: Скорость изменения суммарного момента количест-
ва движения системы материальных тел относительно произвольно выбранной точки равна главному моменту относительно той же точки внешних, приложенных к этой системе сил.
Если через |
обозначим координату любой частички |
|||
удельный момент |
|
|
× |
|
жидкости по отношению |
к выбранной точке отсчета мо- |
|||
мента, то произведение |
|
|
в общем виде представляет |
|
|
|
|
|
|
|
количества движения. |
|||
Обозначив |
суммарный момент количества движе- |
|||
ния и используя формулы |
(4.35) и (4.38), получим искомую |
|||
интегральную запись закона моментов количества движе-
где |
|
– |
= ∫ |
|
+ ∫ [( × ) |
|
+ ( × )] = |
, |
|
ния |
|
|
|
( × ) |
|
|
′ |
|
(4.40) |
|
|
|
|
||||||
гости,′ |
|
обозначает момент прочих сил (сил трения, упру- |
|||||||
тяжести и т.д.) без сил давления, т.к. главный мо- |
|||||||||
мент сил давления включен в формулу (4.40) в виде второго слагаемого под знаком интеграла по контрольной поверхности F.
Замечания к разделу:
Интегральные уравнения позволяют решать многие технические задачи балансового характера, когда по известным потокам одних величин вычисляются другие.
Однако основной задачей гидродинамики является описание процесса течения жидкости, т.е. выражение связи между различными параметрами потока в различных точках пространства и времени. Эти знания добываются путем решения дифференциальных уравнений фундаментальных
97