|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
( ∙ ) |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.45) |
|
|
|
|
|
|
|
|
= . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
( ∙ ) |
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|||||||||
= + |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Если в другой |
записи |
(с учетом (3.6) и (3.7)): |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
тензора |
|
|
|
. |
|
|
(3.46) |
|||
но по свойству сопряженного |
|
|
равенство |
(3.44а) |
|||||||||||||||||
Следовательно, = ( ∙ ) |
|
= |
|
. |
|
|
|
|
(3.47) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
можно переписать в следующем виде: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
аргументу . |
|
|
|
тензор |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
можно рассматривать |
||||||||||
как производную от векторной( |
функции∙ ) |
|
по векторному |
||||||||||||||||||
3.7. Безвихревые и соленоидальные векторные поля |
|||||||||||||||||||||
тор |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
задано |
|||
Будем считать, что в некоторой области |
|
||||||||||||||||||||
векторное поле, если в каждой точке |
|
|
|
|
определен век- |
||||||||||||||||
|
+ |
. |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
= ( , , , ) = |
|
+ |
|
|
|
||||||||||||||
В гидродинамике важную |
роль |
играют |
векторные |
||||||||||||||||||
поля, удовлетворяющие во всех точках области определе- |
|||||
2) |
= 0, |
|
|
|
(3.49) |
ния условиям: |
|
|
|
|
|
В |
= 0. |
|
|
|
(3.48) |
1) |
|
= 0 |
|
||
ся безвихревым, а во втором (т.е. |
= 0 |
|
|||
идным. |
первом случае (т.е. при |
|
|
|
|
|
|
|
) поле называет- |
||
|
при |
|
|
) – солено- |
|
|
|
( , , , ) |
|
Справедлива теорема: для того чтобы поле вектора |
|
|
было безвихревым, необходимо и достаточно существо- |
|
вание такой скалярной функции |
, называемой |
|
62
потенциалом векторного поля, для которой во всех точках
области задания векторного поля выполнялось бы равен- |
|||
вого и второго порядка непрерывна= в, |
рассматриваемой об- |
||
ство |
|
|
(3.50) |
причем функция |
вместе с частными производными пер- |
||
ласти. |
|
|
|
Следствие: выражения «безвихревое поле» и «потенциальное поле» являются синонимами, т.е. для задания векторного поля достаточно задать скалярное поле потенциала.
Пример:
Потенциальным векторным полем является напряженность гравитационных сил вблизи поверхности Земли.
В этом случае проекции силы тяжести, действующей на единицу массы=,0;определяется= 0; =выражениями−. :
Следовательно= + + = − и = − + .
Отсюда видно, что в данном случае потенциал
численно равен величине потенциальной энергии единицы массы, взятой со знаком минус. Именно это обстоятельство
объясняет происхождение термина «потенциал». Замечание: если безвихревое =(или0 потенциальное)
поле одновременно является соленоидальным∆ , то лапласиан его потенциала равен нулю т.е. .
63
4. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОСТИ
4.1. Способы описания движения жидкости
Рассмотрим некоторый ограниченный сосуд Ώ с границей Г, целиком заполненный жидкостью.
Рис. 4. Выделенный для рассмотрения объем
Пусть, начиная с некоторого момента времени t0, на жидкость начинают действовать некоторые силы. Это могут быть, например, механические силы (силы перемешивания, силы тяжести, центробежная силы и т.д.).
Тогда жидкость, вообще говоря, придет в движение. Если, к тому же, она в момент времени t0 находилась в движении, то характер движения в последующие моменты времени t будет зависеть от характера движения в начальный момент времени.
Нашей задачей является0 ≤ ≤описание движения жидкости в моменты времени , в зависимости от н а- чального состояния жидкости и действующих на жидкость сил.
64
Исторически сложились два принципиально различных подхода к описанию движения жидкости.
4.1.1. Подход Лагранжа
Жидкость представляется, как совокупность материальных частиц, заполняющих сосуд (объём) Ώ, причем эти частицы считаются настолько малыми, что их можно отождествить с точками объёма Ώ.
Т.о. объектом исследования в этом подходе является частица жидкости.
Сущность подхода Лагранжа заключается в распространении на жидкость обычных приемов механики системы материальных точек.
Т.о. траектория движения частицы жидкости описы- |
|||||
вается уравнениями |
= ( , , , ), , |
|
(4.1) |
||
|
|
= ( , , , ), |
|
|
|
где t – время, |
= ( , , , ), |
|
|
|
|
чить одну, , |
– параметры, которые дают возможность отли- |
||||
частицу от другой. |
|
|
|
||
Для определенности понимают в качестве |
|
– |
|||
координаты данной частицы в некоторый |
фиксированный |
||||
|
, , |
|
|||
(единый для всех частиц) момент времени. |
|
|
|
||
Скорости движения частицы определяются выраже- |
|||||
ниями: |
= |
; = ; = . |
|
(4.2) |
|
|
|
|
|
|
|
65
4.1.2. Подход (способ) Эйлера
В современной гидродинамике используется в основном способ Эйлера благодаря простоте, а также удобству применения хорошо разработанного математического аппарата теории поля.
Объектом исследования в подходе Эйлера является поле – часть пространства, занимаемого движущейся жидкостью.
Для жидкости применяется модель сплошной среды (т.е. используется гипотеза сплошности).
При использовании подхода Эйлера нет надобности изучать движение каждой фиксированной частицы жидкости – достаточно знать кинематические характеристики в каждой неподвижной точке пространства и исследовать как меняются эти характеристики при переходе из одной
точки к другой. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Т.о. при подходе Эйлера движение считается задан- |
||||||
|
– радиус вектор точки = ( , ), |
|
|
||||
ным, если определено поле вектора скорости |
(4.3) |
||||||
где |
|
|
пространства. |
||||
|
|
|
|||||
|
Выражение (4.3) |
эквивалентно трем скалярным ра- |
|||||
|
= ( ). |
|
. |
(4.4) |
|||
венствам: |
|
= ( , , , ) |
|||||
|
|
|
( |
, , , |
) |
|
|
|
|
|
= |
|
|
||
|
Однако в |
|
= ( , , , ) |
|
|
||
|
|
некоторых случаях возникает необходи- |
|||||
мость определения траекторий частиц жидкости (подхода Лагранжа).
В этом случае задача исследования формулируется следующим образом:
66
|
|
Если в начальный момент t0 частица жидкости за- |
|||||||||||||||||||||
|
|
Каждой частице( ) |
( 0) = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
нимала положение , а её движение описывается с помо- |
|||||||||||||||||||||||
щью функции |
|
, то0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
объёма Ώ соответствует своя век- |
|||||||||||||
функция |
|
, описывающая её движение. |
|
|
|||||||||||||||||||
тор- |
|
Движение( ) жидкости будет описано, если будут най- |
|||||||||||||||||||||
|
все эти вектор-функции |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
дены |
|
Для этого зафиксируем(момент) |
времени |
. |
В этот |
||||||||||||||||||
( ) имеет скорость′ |
|
|
′ |
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
′ |
|
|
|
закону |
||||||
момент времени частица жидкости, двигающаяся по |
|||||||||||||||||||||||
|
|
( ) |
= |
|
( ) + |
|
|
( ) + |
|
( ) . |
|
|
|||||||||||
в момент времени |
|
в |
|
|
( , ) |
скорость частицы |
жидкости |
||||||||||||||||
|
|
Обозначим через |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
Отсюда |
|
|
|
|
|
|
точке |
|
|
|
. Ясно, что должно выпол- |
||||||||||
|
|
|
|
|
′ |
( ) = , ( ) . |
|
|
|
|
|
||||||||||||
няться соотношение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
следует, что если известны скорость дви- |
||||||||||||||||||||
ленная для всех |
|
|
|
и всех |
|
|
|
|
|
|
|
, то для, ( того) , чтобы |
|||||||||||
жущейся жидкости в каждой точке |
|
|
|
в каждый момент |
|||||||||||||||||||
найти вектор- |
|
Ώ |
|
|
|
|
0 |
|
≤ ≤ |
|
|
|
, опреде- |
||||||||||
времени t, т.е. известна вектор- |
функция |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
Ώ |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
функцию |
|
, описывающую движение час- |
|||||||||||||||||||
тицы жидкости, занимающей( ) |
|
в начальное время t0, поло- |
|||||||||||||||||||||
жение |
, надо решить следующую задачу Коши для ве к- |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
= , ( ) , ≥ 0, |
. |
|
(4.5) |
|||||||||||||||
торного0дифференциального уравнения: |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
вить её в виде |
|
|
|
|
|
|
|
( 0) = 0 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
( , ) |
в координатах, т.е. предста- |
|||||||||||||||||
|
|
Если расписать |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
( , ) = |
( , , , ) + |
|
( , , , ) + ( , , , ) , |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
то задачу (4.5) можно переписать в виде задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений
67
|
|
|
= ( , , , ), ( , , ) , 0 ≤ ≤ |
|
|
|
|||||||||||
|
|
( ) |
|
|
|
|
|
= ( , , , ), |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
( ) |
= ( , , , ), |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
( ) |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
( 0) |
= 0 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 0) |
= 0 |
|
|
|
|
|
||
|
|
Т.о. для того, |
чтобы( 0) =описать0 |
движение жидкости, |
|||||||||||||
или, что то же |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[ 0, ] |
|||||||
достаточно знать распределение скоростей жидкости в ка- |
|||||||||||||||||
ждой точке |
|
|
|
и в каждый момент времени |
|
|
, |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
самое, знать вектор-функцию |
|
. |
|
|
|||||||
рой |
|
Оказывается, для того, чтобы найти |
( , ), нужно в |
||||||||||||||
|
Т.о. |
задачу, которую( , ) |
мы должны решить, |
можем |
|||||||||||||
свою очередь решить некоторую систему уравнений( , ) |
, кото- |
||||||||||||||||
|
удовлетворяет |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
сформулировать следующим образом. |
|
|
|
|
|
||||||||||||
ние |
|
|
|
( , , ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Пусть в области Ώ трехмерного координатного про- |
|||||||||||||||
странства |
|
|
|
|
с гладкой границей Г происходит движе- |
||||||||||||
|
жидкости. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
Требуется вывести систему уравнений, которой |
|||||||||||||||
удовлетворяют функции |
( , , , ), |
|
|
|
|
|
|||||||||||
являющиеся |
|
|
|
|
( , , , )., |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
( , , , ) |
|
( , ) |
– поля |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
координатами вектор-функции |
|||||||||||
скоростей движущейся жидкости. |
|
|
|
||||||||||||||
68