среде малых по величине тел или если изучать течение этой среды в узких каналах.
Когда мы говорим «малый» или «большой», то всегда имеем в виду по сравнению с чем.
Сами по себе эти понятия бессмысленны.
Таким образом, размеры тел или каналов необходимо сравнивать с расстоянием между молекулами. А т.к. молекулы непрерывно перемещаются, то за эталон длины, очевидно, следует принять среднюю длину свободного «пробега» (пролета). Таким образом дело не только в том, сколько молекул содержится в малых объёмах (хотя в 1мм3 воздуха при нормальных условиях содержится 2,7 ∙1016 молекул), а в том, каково соотношение между характерным размером канала (для труб это диаметр) или омываемого тела по сравнению со средней длиной свободного «пробега».
Важное замечание: принято считать, что если соотношение между характерными размерами канала и длиной свободного пробега молекулы составляет величину порядка 105 и выше, то молекулярные эффекты уже не могут себя проявить и исследуемое течение можно рассматривать как течение сплошной среды.
Договоримся, что мы рассматриваем только случаи течения, в которых это условие всегда выполняется.
2.2.1. Понятия: плотность, удельный вес, модуль упругости
Теперь легко вводятся такие понятия как плотность, удельный вес, модуль упругости.
1. Плотностью жидкости называется её масса, заключенная в единице объёма
15
|
, |
|
(2.1) |
|
объёме V. |
|
|
где М – масса жидкости в = |
|
|
|
Если жидкость неоднородна, то формула (2.1) опре- |
|||
деляет лишь среднюю плотность жидкости. |
|
||
2. В |
= lim∆ →0 ∆ = |
|
|
Вводится понятие плотность жидкости в точке |
|
||
|
∆ |
. |
(2.2) |
|
практических приложениях о массе жидкости |
||
судят по её весу.
Вес жидкости, приходящийся на единицу объёма, |
|||
называется удельным весом |
, |
(2.3) |
|
где G – вес жидкости в |
объёме V. |
|
|
= |
|
||
Если жидкость неоднородна, то формула (2.3.) определяет лишь средний удельный вес жидкости.
Вводится понятие удельный вес жидкости в данной
точке |
|
= lim∆ →0 ∆ = |
|
||
плотность и |
|
(2.3а) |
|||
|
|
∆ |
|
||
нием |
удельный вес связаны между собой соотноше- |
||||
|
|
, |
|
(2.4) |
|
|
|
|
|
||
где g – ускорение |
свободного падения. |
|
|||
= ∙ |
|
|
|
||
3. Плотность и удельный вес меняются с изменением давления и температуры. Эта зависимость существенно различна для капельных жидкостей и газов.
Сжимаемость капельных жидкостей под действием давления характеризуется коэффициентом объёмного сжатия βv, который представляет собой относительное измене-
ние объёма жидкости на единицу изменения давления |
|
|
|
1 ∆ , |
(2.5) |
где v – первоначальный |
объём жидкости; |
|
= − ∆ |
|
|
16
V – изменение этого объёма при увеличении давления на величину P.
Знак минус в этой фор муле обусловлен тем, что положительному приращению давления P соответствует отрицательное приращение (т.е. уменьшение) объёма жидкости.
Величина, обратная коэффициенту объёмного сжа- |
||
Температурное |
0 = |
|
тия, называется модулем упругости жидкости |
|
|
|
1 . |
(2.6) |
|
расширение капельных |
жидкостей |
характеризуется коэффициентом температурного расшире-
ния βt, выражающим относительное увеличение объёма |
||
жидкости при увеличении температуры на 1 градус, т.е. |
||
|
1 ∆ , |
(2.7) |
где V – первоначальный |
объём жидкости; |
|
= ∆ |
|
|
V – изменение этого объёма при повышении температуры на величину Т.
2.3.Силы, действующие в жидкости
2.3.1.Объёмные (массовые) силы
Объёмными (массовыми) силами назовем силы, которые действуют на все частицы жидкости внутри любого выделенного объёма.
Такими силами являются гравитационные (сила тяжести) и инерционная (сила инерции, возникающая при изменении скорости движения жидкости).
Роль этих сил неодинакова. Так:
1. Сила тяжести оказывает слабое влияние на процесс течения и ею будем пренебрегать.
17
2. Пренебрежение силами инерции недопустимо. Т.к. исключение их из уравнений движения жидкости существенно искажает истинную картину течения.
Примечание: инерционные силы не проявляют себя лишь тогда, когда жидкость движется без ускорения.
2.3.2. Поверхностные силы
Поскольку нами принята гипотеза сплошности, то, выделяя некоторый объём ΔV, мы можем говорить о п о- верхности, отделяющей этот объём от остальной массы жидкости.
По этой поверхности будут распределены каким-то образом силы взаимодействия выделенного объёма с окружающими его частями среды или твёрдыми стенками.
Таким образом, мы вводим понятие поверхностных
сил.
Возьмём достаточно малых элемент ΔS этой поверхности, чтобы его можно∆ было считать плоским.
Разложим силу , действующую на выделенный элемент, на две составляющие: нормальную и касательную.
Рассмотрим их по отдельности.
2.3.2.1. Касательные силы
Ранее мы отметили, что жидкость отличается от твердых тел – текучестью. Т.е. если к жидкости приложены силы, то она ни на мгновение не способна их сдерживать и начинает течь. Мера лёгкости, с которой течёт жидкость определяется её вязкостью.
Введём математическое определение этого важнейшего свойства жидкости.
18
Вначале введём понятие напряжения касательных∆ сил в точке. Для этого перейдем к пределу в отношении ∆ при ΔS → 0 и получим значение напряжения касательной силы
в некоторой точке, принадлежащей элементарной площадке S:
Ранее мы отмечали=, |
|
∆ |
. |
(2.8) |
что касательные напряжения в |
||||
lim∆ →0 |
∆ |
|
||
неподвижной жидкости отсутствуют. Они возникают только при проскальзывании одних частиц среды относительно других, т.е. зависят от относительной скорости скольжения жидкости по поверхности ΔS. Очевидно, что чем больше эта скорость, тем больше касательные усилия и тем заметнее проявляется вязкость жидкости.
Казалось бы, в рассматриваемой точке не может быть разности скорости (т.е. скорости скольжения) из-за введения нами гипотезы сплошности и следующей из неё непрерывности изменения скорости жидкости. Однако в различных точках движущейся жидкости скорость различна. Значит, можно говорить об изменении скорости в данной точке, т.е. о производной от скорости, которая и определяет скорость относительного смещения одних точек жидкости относительно других. Поскольку нас интересует взаимное скольжение частиц жидкости вдоль поверхности ΔS, то логично взять производную от касательной составляющей скорости к этой поверхности по нормали к ней. Эта величина и будет определять скорость взаимного скольжения в интересующей нас точке.
Но в какой мере касательные напряжения зависят от производной (здесь с – касательная составляющей скорости к рассматриваемой поверхности ΔS)
19
Ньютон в 1687 году предложил гипотезу, между ве- |
|||
личинами |
и |
существует прямопропорциональная зави- |
|
симость. |
Тτ.е. |
касательные |
напряжения (напряжение тре- |
ния) могут вычисляться в движущихся средах по формуле: |
|
, |
(2.9) |
=
где – коэффициент пропорциональности, называемый ко-
эффициентом динамической вязкости.
Ньютона, динамическая вязкость определяется исключительно физическими свойствами среды (т.е. эти свойства, в том числе и , могут зависеть от температуры и давления, но не зависят от распределения скоростей в потоке жидкости).
Таким образом, в соответствии с предположением
Замечание: эта гипотеза Ньютона является всего лишь предположением, истинность или ложность которого может быть проверена опытом или теоретическими методами других наук.
Проверка гипотезы Ньютона показала, что она справедлива для большинства жидкостей и поэтому уравнение (2.9) трактуется как математическое выражение закона трения, а величину рассматривают как физическую константу, зависящую от свойств среды.
Жидкости, которые подчиняются закону трения Ньютона, называются ньютоновскими.
Однако существует множество жидкостей (расплавы полимеров, коллоидные растворы, суспензии и т.д.), которые закону трения Ньютона не удовлетворяют.
Жидкости, которые не подчиняются закону трения Ньютона, называются неньютоновскими.
Мы в нашем курсе будем ра ссматривать лишь ньютоновские жидкости.
20