Тогда, записанные в символах векторного анализа, они (эти уравнения) приобретают свойственную им физическую простоту и ясность.

3.3.4. Оператор Лапласса (Лапласиан)

Наряду с дифференциальными операциями первого порядка в векторном анализе находят частое применение также дифференциальные операции второго порядка. Такой операцией и является лапласиан от некоторой скаляр-

ной или векторной функции.

Оператор … или 2 … называемый оператором

Лапласса, формально может быть получен как скалярное произведение вектора∆…набла= на…вектор= 2 …набла:

Таким образом применение знака (символа) 2 …

или … к какой-либо скалярной или векторной величине дифференцирование по

поверхности, охватывающей данный объём, растет, то сам интеграл оказывается положительным и тогда значение самой характеристики внутри объёма меньше, чем в его окрестностях. Если же значение характеристики убывает в

53

направлении нормалей от поверхности, то внутри объёма сама характеристика больше, чем в окружающем ее пространстве. Интеграл в этом случае будет иметь отрицательное значение. В общем случае он может иметь и тот, и другой знак и быть равным нулю.

Таким образом, лапласиан представляет собой отклонение некоторой физической характеристики внутри бесконечно малого объёма от среднего значения той же характеристики в окрестностях этого объёма.

Вычисляя лапласиан некоторой величины, мы тем

можно придти к выводу, что касательные вязкие силы, действующие в жидкости, должны быть, по-видимому, пропорциональны лапласиану скорости, т.к. трение малого объёма о соседние частицы той же среды, очевидно будет тем больше, чем больше скорость его отличается от сред-

ней скорости этих частиц.

1.Примеры∆: = 2 = ( ) = ( ) = ,

где – скалярная функция.

Примечание: по правилам векторной алгебры безразлично, умножается ли вектор сам на себя вначале, а за-

54

Важное замечание:

Все введенные понятия рассматривались безотносительно к какой-либо системе координат и, следовательно, верны в любой системе отсчета. В этом заключается их большая универсальность. Однако представленный (рассмотренный) символический метод не всемогущ. Он удобен при выводе и преобразованиях основных дифференциальных уравнений, для выявления их физического содержания.

Однако, как только возникает необходимость решения этих уравнений, приходится прибегать к представлению векторов через скалярные функции, т.е. обращаться к их проекциям на оси той или иной системы координат.

3.4. Представление дифференциальных операций векторного анализа в декартовой системе координат

Декартова система координат является наиболее распространенной для описания движения жидкости в трехмерном пространстве.

Рассмотрим представление всех рассмотренных понятий и операций в декартовой системе координат, обращая главное внимание лишь на физическое содержание векторных операций и правила их использования и не ставя перед собой задачу строгого доказательства тех или

Таким образом, проекции вектора набла на оси прямоугольной декартовой, , системы координат есть операторы

(производные) .

55

56