+

+

…

…

…

= …

.

(3.37)

1. Положение точки или частицы жидкости в

вектором .

координат

характеризуется радиус-

декартовой системе

= + + .

С помощью этого вектора распределени

е скоростей

в пространстве дается соотношением

, что

= 1

( , , )

= ( )

эквивалентно трем скалярным уравнениям:

= 2

( , , )

Приращение

= 3( , , ).

(расстояние

вектора

– величина

= +

+ ,

между двумя близкими точками)

определяется равенством:

а скорость движения некоторой частицы

представляется

очевидным соотношением

Умножим

где D – символ

субстационарной производной.

=

,

элементарный

вектор

на градиент

φ

φ

φ

∙ φ = dx dx + dy dy

+ dz dz .

некоторой скалярной функции φ:

функции φ.

dφ = φ = φ.

(3.38)

Таким образом имеем важную формулу:

тора и φ:

φ

φ

φ

2. Составим скалярное произведение единичного век-

d

d

+ cos ˆ

d

(здесь φ = cos ˆ dx

+ cos ˆ dy

dz,

).

= cos ˆ + ˆ +

единичный вектор

в проекциях на оси координат

cos ˆ

dφ

dx

dz

представляется

равенством

Найдем производную от φ по направлению

:

т.к.

dx

dn

= dn + + dn,

dz

= cos ˆ ,

то

dn = cos ˆ ; = ˆ ; dn

dφ

ˆ

.

dn

= = | | ∙ ( )

Замечание:

Из формулы (3.38) видно, что производная

большее значение равно

достигает своего наибольшего значения для направленияdn,

ент

скалярной функции можем

наи-

совпадающего с направлением

,

при этом её

величине

. Поэтому гради-

определять как вектор,

нию.

например, результирующая сила

в сторону

Именно поэтому,

давления равна –

, т.к. она должна быть направлена

быстрейшего падения давления, а результирую-

Пример:

Найдем выражение для

, где

– посто-

янный вектор:

× ×

× = − ( ).

В этом выражении последующие преобразования

невозможны.

Но, если обратиться к координатному представле-

нию рассмотренных нами

операций, сразу замечаем, что

Т.о.

+

=

+

= 3.

величина

=

оказывается равной

= 0

( ) = 3 .

rot

т.к.

производные

от одних

независимых пере-

,

менных по другим тождественно равны нулю (3.35).

Кроме того:

+

= .

=

+

= − 3 = −2 .

:

Т.о. получим

простое соотношение

Это действительно так, однако если попытаться вы-

= × ( ) = × = 0;

вести такие простые зависимости, как:

= ( × ) = 0;

= × ( × ) = ( ) − ( ) =

опираясь лишь на

= − ,

оператора Га-

координатное выражение2

Формула Гаусса:

Остроградского:

(3.39)

Формула ∫ = ∙ .

∫ =

∙ .

(3.40)

3.6. Дифференциальные тензоры

Помня, что умножить на составляющую символиче-

ского вектора

это значит продифференцировать по со-

ответствующей координате, находим:

−

∙ = ∙

+ ∙

+ ∙ .

(3.41)

Этот тензор по аналогии с градиентом

скалярной

Его

∙ = .

величины (3.34) назовем градиентом вектора:

(3.42)

матрицы:

составляющие легко выявляются, если рассмот-

реть диадные произведения ортов на скалярные производ-

ные от вектора

в равенстве (3.41), и записываются в виде

нится, если при перестановке сомножителей тензор заме-

нить на сопряженный.

∙ =

=

(3.43)

вектора слева:

на

дифференциал радиус

Умножим тензор

∙ =

+

+ = .

(3.44)

Полученное соотношение

совершенно

аналогично

(3.38) полному дифференциалу скалярной функции. Т.е.

имеем:

= ;

(3.44а)

=

элементы строк на

Если в тензоре (3.43) заменить