3.3.2. Правила символического исчисления

не

ся постоянными.

3.

Постоянный множитель можно вынести за

знак .

Однако выносить можно лишь постоянный скаляр, а

вектор. Если под знаком

оказывается постоянный век-

тор, то

произведение символического вектора набла на

данный вектор надо так

преобразовать по правилам дейст-

В соответствии с правилами производная от произ-

∙ = +

ведения равна сумме производных, т.е.

переменные,

(3.26)

здесь малые буквы (m и

) обозначают

вели-

чины, а большие буквы (

M и ) – величины, которые вре-

менно рассматриваются как постоянно

.

Вынесем скаляр M за знак

(дифференцирования),

а во втором слагаемом оператор

∙

(Гамильтона) будем рас-

сматривать как обычный вектор.

Тогда

есть просто

скалярное произведение двух векторов, величина

которого

не меняется от перестановки сомножителей.

=

и по-

Значит, в процессе преобразования

стоянный вектор

оказался как бы вынесенным за знак

производной.

…

Т.о. в результате такого преобразования получили

новый оператор дифференцирования (

)… , который в

отличие от

является скалярным, а не векторным.

Примечание: для преобразования членов

(

) и

( ) необходимо искать формулы в векторной алгебре, ко-

торые

включали бы комплексы типа

(

).

× × +

Оказывается, что такой комплекс

есть в разложении

∙

( )=

двойного. векторного произведения:

После

проведения преобразований величины,

при-

нятые временно как постоянные, можно снова считать пе-

ременными.

= + ( ) = +

Т.о. равенство (3.26) можно записать:

.

(3.27)

величина, то скобки,

( )

Замечание: т.к. после введения нами нового операто-

ра дифференцирования

стоит переменная скалярная

(скобки) были бы

охватывающие этот оператор, можно

( )

не ставить.

Если бы за знаком

… следовал вектор, то они

векторами

.

( )

В

противном

случае

обязательны.

( ) ≠ ( )

, а про правилам действия над

выражение

, и так:

Таким

образом,

окончательно

выражение

(3.27)

2. Найдем = +

можно записать:

( ∙ )

.

первый шаг: запишем:

(3.28)

выражение для

, где

и

пе-

ременные векторы

∙ = ∙ = ∙ + ∙

(*)

Здесь мы не

имеем права

, как в предыдущем

.приме-

и

.

∙ =

=

ре, делать преобразования вида:

≠

т.к. знаки равенства в этих выражениях незаконны из-за

справедливости

.

= ∙ ∙ +

Из векторной

алгебры известно

:

Заменив в этом отношении

вектор

.на оператор

Гамильтона , получим для первого слагаемого

равенства

= + ∙

выражение:

(*) такое

.

∙ = ∙ + ∙ ( ∙ )

Аналогично представляется и второе

слагаемое (*):

Наконец, считая

все векторы

вновь

переменными.

,

Замечание= ( 1:)

в+дальнейшем∙ + нас будет+ ∙интересовать

запишем следующую зависимость:

. (3.29)

и

лишь частный случай этой формулы, когда оба вектора

равны вектору

скорости.

Таким образом,

из выражения (3.29)

автоматически

получаем:

2

=

( ) + ∙

.

(3.30)

2

Замечание 2: введенные нами величины

… и