4.2. Кинематика жидкой частицы (движение жидкой частицы в общем виде)

торов есть тензор, однако вследствие многозадачности операции деления векторов тензор пока неизвестен.

Отыскание этого тензора требует специальных рас-

суждений.

( ∙ )

Раньше мы получили (см. формула 3.47), что тензор можно рассматривать как производную от вектор-

ной функции по векторному аргументу .

( ∙ )

(3.11) на симметричную и антисимметричную часть:

69

Выясним, какую физическую трактовку можно дать этим двум составляющим тензора.

Представим себе жидкую частицу в форме маленького кубика с гранями, параллельными осям координат.

В процессе движения такой частицы из-за слабости связей между её элементами одни точки её будут перемещаться быстрее, а другие медленнее, причем направления скоростей в разных точках, совсем не обязательно должны совпадать.

В результате рассматриваемая частица изменит свою форму и через некоторый промежуток времени δt приобретет вид, показанный на рисунке штриховой линией (рассматриваем сечение этой частицы плоскостью ).

70

Рис. 5. Геометрическое изображение частицы

Однако если первоначальные размеры частицы были очень малы, то кривые линии, очерчивающие новые контуры частицы, можно с точностью до бесконечно малых высших порядков заменить прямыми, как это обычно делается в дифференциальном исчислении.

Рассмотрим, какие превращения должны были бы произойти с элементарным кубиком, чтобы он превратился в частицу другой формы и, вообще говоря, по-новому ориентированную в пространстве.

Чтобы не осложнять рассуждений, будем рассматривать сечение частицы плоскостью .

Нарисуем частицу в более крупном масштабе, дополнив схему вспомогательными линиями и обозначениями.

Примечание: такой подход к деформации частицы основывается на переносе уже известных представлений из механики и сопротивления материалов в гидродинамику и распространении их на движение жидкой частицы.

71

Такой подход очень распространен в науке. Нужно лишь удостовериться в правильности выбранной гипотезы.

Рис. 6. Последовательное превращение частицы

Вообразим, что первоначальный контур частицы MNKL за интервал времени δt перешел в контур MABD путем трехи последовательных превращений.

1. Вначале частица растянулась или сжалась вдоль осей .

2.Затем она повернулась как единое целое на угол δγ.

3.Затем произошел её сдвиг (сплющивание) на удвоенный угол δθ.

Замечание: выбор таких трех последовательных

превращений частицы условен. Никаких оснований для

72

этого нет, т.е. мы выдвигаем гипотезу, что растяжение, поворот и сдвиг деформируют частицу и т.о. переводят контур MNKL в контур MABD.

Такое расчленение движения удобно потому, что трудно уследить сразу за всеми изменениями, происходящими с частицей, которые в действительности протекают

Примечание: эта скорость обусловлена растяжением или сжатием элементарной частицы по направлению оси .

частицы будет приближаться или удаляться от точки M вдоль оси x со скоростью, пропорцио-

нальной величине .

Очевидно, что, повторяя аналогичные рассуждения, найдем коэффициенты пропорциональности скоростей смещения по осям y и z в виде множителей.

73

и .

Кроме растяжения или сжатия, на скорости удаления выбранной точки от точки M по координате x скажутся деформация сдвига и поворот частицы в пространстве как твердого тела.

Очевидно, что эти добавки скорости пропорцио-

здесь поставлен потому, что точка L движется относительно точки M в отрицательном направлении по оси Y.

74

Подставляя найденные значения углов в формулы

вокруг оси z по часовой стрелке, т.к. мы уславливаемся

считать положительным направлением вращения против часовой стрелки (от оси x к оси y).

Скорость смещения любой точки внутри элементар-

рассмотрим только деформацию и вращение в плоскости xy.

Легко убедиться, что смещение по оси x вызывается аналогичными превращениями с частицей и в плоскости xz, а в плоскости zy коэффициенты пропорциональности

75

группа (**) дает верхнюю строку симметричного тензора, а группа (***) – антисимметричную.

Очевидно, что если провести аналогичные рассуждения для отыскания коэффициентов, определяющих сме-

ное движение частицы, а вторая группа (***) – вращательное.

Неоднородность поля скоростей в любой точке пространства, занятого движущейся жидкостью, обусловлена

Уравнение (4.10) представляет собой важное для гидродинамики утверждение, известное под названием теорема Коши-Гельмгольца: движение любой точки жидкой частицы можно рассматривать как результат сложения поступательного движения по траектории вместе с некоторой начальной точкой (точкой M в рассмотренном приме-

76