Аналогичные равенства можно записать и для ос-

формулой Ламба-Громеки.

Из формул (4.29) и (4.20) находим выражение для ус-

Замечание: такая форма записи ускорения указывает на наличие или отсутствие вихрей и позволяет установить различие в особенностях вихревого и безвихревого движений жидкости.

4.4. Субстанциональное изменение количественного параметра конечной массы вещества

При отыскании математической записи основных законов физики часто проводится одинаковая серия рассуждений. Чтобы не повторять их каждый раз отдельно, целесообразно сделать эти рассуждения в обобщенном виде,

87

чтобы в дальнейшем просто пользоваться готовыми результатами.

Для этого необходимо еще раз расширить понятие субстанциональной производной.

Предварительные замечания: в физике (термодина-

мике) все параметры системы разделяются на две категории:

1.Интенсивные или качественные;

2.Экстенсивные или количественные.

К первой группе относятся температура, давление, напряжение различных сил, скорость.

Ко второй группе относятся масса, объём, внутренняя энергия, энтропия, количество движения и т.д.

Различие между этими группами заключается в том, что количественный параметр, характеризующий всю систему (конечную массу вещества), может быть представлен, как сумма таких же величин отдельных её частей.

Например:

Внутренняя энергия некоторой массы жидкости равна сумме внутренних энергий составляющих эту массу частиц.

Но температуру или скорость той же массы жидкости нельзя представлять как сумму температур или скоростей её отдельных элементов. Здесь можно говорить лишь о средней температуре или скорости.

Однако среднее значение интенсивных параметров понятие несколько неопределенное (обоюдоострое). Иногда оно дает удовлетворительное представление о состоянии системы, а в ряде случаев может ввести в заблуждение. Поэтому в гидродинамике избегают пользоваться средними величинами для больших количеств жидкости (конечной массы вещества).

88

Замечание:

1. Для бесконечно малых объёмов, где средние значения качественного параметра незначительно отличаются от его истинного значения в любой точке объёма его применение вполне допустимо. Поэтому переход к рассмотрению бесконечно малых (элементарных) объёмов жидкости и вызван стремлением использовать все макроскопические параметры, как количественные, так и качественные.

2. Если же ориентироваться лишь на количественные величины, то их вполне можно применять к конечным размерам или массам системы и, следовательно, можно говорить об их субстанциональном изменении для всей рассматриваемой части движущейся среды.

Рассмотрим непосредственное вычисление субстанционального изменения некоторого количественного параметра П конечной массы жидкости М.

Будем использовать тензорное обозначение для этого параметра, так как количественная характеристика, вообще говоря, может быть тензором любого ранга.

Для выражения удельного значения того же параметра, т.е. отнесенного к единице объёма, применим символ π, помня, что удельная величина может изменяться внутри данного объёма от одной точки к другой.

Если даже выделенный в жидкости объём V, ограничивающий массу М, неподвижен, то в нём с течением времени может происходить изменение параметра П под действием внешних причин или вследствие процессов, которые развиваются внутри самого объёма. Такое изменение

89

это показано на рис. 7.

Рис. 7. Движение объема V в пространстве

Условно контур I, представляющий объём , преобразуется в контур II.

Если в начальный момент времени значение параметра П определялось выражением (4.31), то в последующий момент этот параметр примет значение П’, которое, по аналогии с (4.31), находится′ тем же способом. При этом значение π заменяется на , являющегося измененной+ . величиной удельного параметра в момент времени

Вследствие всех превращений, которые произошли с рассматриваемой массой жидкости при её движении в

90

ния поверхности, ограничивающей выделенную массу

раобП во времени внутри неподвижной общей части объёма

;

2. Увеличение П из-за интегрального приращения объёма в состоянии II;

3. Уменьшение П вследствие интегральной потери в состоянии II.

91

Первое слагаемое на основании равенства (4.32)

следует из рассмотрения рисунка:

Рис. 8. Перемещение рассматриваемой точки в пространстве

переместится на пограничную поверхность

92

93