- •1.1. Предмет механики жидкости и её задачи
- •1.2. Математическое моделирование
- •2. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ
- •2.1. Начальные понятия, свойства жидкости
- •2.2. Гипотеза сплошности
- •2.2.1. Понятия: плотность, удельный вес, модуль упругости
- •2.3. Силы, действующие в жидкости
- •2.3.1. Объёмные (массовые) силы
- •2.3.2. Поверхностные силы
- •2.3.2.1. Касательные силы
- •2.3.2.2. Нормальные силы
- •2.3.2.2.1. Давление
- •2.3.2.2.3.Тензор напряжения поверхностной силы
- •3. ВЕКТОРЫ И ТЕНЗОРЫ В ГИДРОДИНАМИКЕ
- •3.1. Тензоры
- •3.1.1. Правила действия над тензорами
- •3.2. Гидромеханический смысл некоторых операций векторного анализа
- •3.2.2. grad Р (градиент давления)
- •3.3. Символическое исчисление
- •3.3.1. Оператор Гамильтона
- •3.3.2. Правила символического исчисления
- •3.3.3. Примеры, имеющие самостоятельное значение
- •3.3.4. Оператор Лапласса (Лапласиан)
- •3.4. Представление дифференциальных операций векторного анализа в декартовой системе координат
- •3.4.1. Примеры, имеющие самостоятельное значение
- •3.6. Дифференциальные тензоры
- •3.7. Безвихревые и соленоидальные векторные поля
- •4. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОСТИ
- •4.1. Способы описания движения жидкости
- •4.2. Кинематика жидкой частицы (движение жидкой частицы в общем виде)
- •4.3. Виды движения жидкости
- •4.3.1. Субстанциональная производная бесконечно малой частицы жидкости
- •4.3.2. Обобщение понятия субстанциональной производной бесконечно малой частицы жидкости
- •4.3.2.1. Ускорение жидкой частицы
- •4.4. Субстанциональное изменение количественного параметра конечной массы вещества
- •4.5. Интегральная запись законов сохранения материи, количества движения и момента количества движения
- •4.6. Дифференциальное уравнение закона сохранения материи (уравнение сплошности или неразрывности)
законов физики, описывающих сложный процесс происходящий в жидкости.
4.6. Дифференциальное уравнение закона сохранения материи (уравнение сплошности или неразрывности)
Возьмем интегральную форму записи этого закона
(формула 4.36) и преобразуем поверхностный интеграл в |
|||||||
|
= |
|
|
+ |
= 0. |
|
|
|
|
|
|
||||
объёмный с помощью формулы Остроградского (3.40) |
|||||||
Поскольку |
|
|
+ = 0. |
|
|
||
|
|
|
|||||
Объединяя оба объёмных интеграла в один, получаем: |
|||||||
|
|
|
|
и область V произвольна, то по- |
|||
динтегральная |
функция оказывается равна нулю. Следова- |
||||||
|
+ = 0. |
|
(4.41) |
||||
Замечание: |
|
|
|||||
|
|
|
дифференцированное уравнение: |
||||
тельно, имеем точное ≠ |
|
|
|
|
|||
чается в том, что в любой точке |
|
|
|||||
1. Физический смысл закона сохранения материи |
|||||||
вытекает (следует) из физического смысла |
|
и заклю- |
|||||
|
|
|
|
|
пространства, занятого те- |
||
кущей жидкостью, изменение её плотности во времени обусловлено накоплением или стоком жидкости в смежные области.
2. Формуле (4.41) можно придать другой вид после |
|||
+ ( ) = |
+ ( ) + ( ) = |
(4.41а) |
|
следующих преобразований: |
|
|
|
|
|
|
|
= + ( ) + = + |
|
||
98
Поскольку |
|
+ = 0 |
|
|
носительного |
|
|
(4.41б) |
|
т.е. |
1 |
|
|
|
|
|
|
можно трактовать как скорость от- |
|
изменения объёма малой частицы жидкости неизменной массы, то уравнение неразрывности в записи (4.41б) можно прочитать так:
Скорость относительного изменения плотности частицы неизменной массы равна, с обратным знаком, скорости относительного изменения её объёма.
3. |
Если течение установившееся, то зависимости |
|||
4. |
Для |
= = 0 |
|
|
(4.41а) и (4.41б) приводятся к виду |
. |
(4.42) |
||
|
|
несжимаемой жидкости (при ρ=const) закон |
||
Причём эта формула = = 0 |
|
|
||
сохранения материи записывается: |
|
|
||
|
|
. |
|
(4.43) |
|
|
справедлива как для установившегося |
||
движения, так и для неустановившегося.
5. Несмотря на то, что уравнения (4.41) … (4.43) даны в векторной символике, тем не менее они являются соотношениями скалярными и никаких проекций на оси координат из них составить нельзя.
Обычную форму записи этих уравнений легко получить, если обратиться к координатному представлению
оператора Гамильтона на основе формулы (3.32). В этом |
|
+ + + = 0. |
(4.44) |
случае уравнение (4.41) имеет вид |
|
99
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Учебное пособие включает в себя основные сведения по механике жидкости необходимые для понимания теоретических основ курсов «Прикладные основы гидравлики, гидрогазодинамики и термодинамики энергетического оборудования», «Гидравлика» и «Механика жидкости». Пособие построено в форме последовательного изложения физической и математической основ предмета изучения. Основные понятия и определения вводятся по мере необходимости в соответствии с логикой изложения.
100
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1.Невинский, В. В. Гидрогазодинамика одномерных течений: лекции по курсу [Текст] / В. В. Невинский. – Ленинград, 1972. – 143 с.
2.Невинский, В. В. Гидрогазодинамика плоских и
пространственных течений: лекции по курсу [Текст]
/В. В. Невинский. – Ленинград: ЛПИ, 1975. – 174 с.
3.Ландау, Л. Д. Механика сплошных сред [Текст] / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Гос. изд-во техн.-теорет. лит., 1953. – 788 с.
4.Лойцянский, Л. Г. Механика жидкости и газа [Текст] / Л. Г. Лойцянский. – М.: Наука, 1970. – 902 с.
5.Математическое моделирование, пер. с англ. / [Р.Р. Мак-Лоун, Дж. У. Крэггс, Б. Нобл и др.]; ред. Дж. Эндрюс, Р. Мак-Лоун; пер. с англ. и под ред. Ю.П. Гупало.–
М.: Мир, 1979. – 278 с.
6.Вязгин, В. А. Математические методы автомати-
зированного проектирования: учеб. пособие [Текст] / В. А. Вязгин, В. В. Федоров. – М.: Высшая школа, 1989. –
184 с.
101
ОГЛАВЛЕНИЕ |
|
Введение………………………………………..........…...... |
…3 |
1. МЕХАНИКА ЖИДКСТИ………………………………....4 |
|
1.1. Предмет механики жидкости и её задачи ..................... |
4 |
1.2. Математическое моделирование…….…..…..................7 |
|
2. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ…...…….11 |
|
2.1.Начальные понятия, свойства жидкости………......….11
2.2.Гипотеза сплошности……………………..….............. 14
2.2.1.Понятия: плотность, удельный вес, модуль
упругости. …………………………………………............. |
..15 |
2.3. Силы, действующие в жидкости……………….... |
……17 |
2.3.1.Объёмные (массовые) силы…………………….……17
2.3.2.Поверхностные силы…………..…………………..…18
2.3.2.1.Касательные силы…………………………….....….18
2.3.2.2.Нормальные силы…………………………....….….21
2.3.2.2.1. Давление………………………………….…….… 21 |
||
2.3.2.2.2. Нормальные силы, обусловленные изменением |
||
скорости течения.............................................................. |
... ... 24 |
|
2.3.2.2.3. Тензор напряжения поверхностной силы…..…..26 |
||
3.ВЕКТОРЫ И ТЕНЗОРЫ В ГИДРОДИНАМИКЕ.……... 28 |
||
3.1. Тензоры……………….………………………………...28 |
||
3.1.1. Правила действия над тензорами……………….... |
…32 |
|
Правило 1. Операция транспонирования тензора…….32 |
||
Правило 2. Симметричный тензор………………….… 32 |
||
Правило 3. |
Умножение тензора на скаляр…………….33 |
|
Правило 4. |
Сложение тензоров………………………...33 |
|
Правило 5. |
Умножение вектора на тензор………….…36 |
|
Правило 6. |
Единичный тензор…………………….... |
…37 |
3.2. Гидромеханический смысл некоторых операций |
|
|
векторного анализа………...........…..……………………... 37 |
||
102
3.2.1. div U (дивергенция скорости)……………………....38
3.2.2.grad Р(градиент давления)………………....…….….45
3.2.3.rot U (ротор скорости)………………..……..……….46 3.3. Символическое исчисление…………….……………..47
3.3.1.Оператор Гамильтона……………………………..…47
3.3.2.Правила символического исчисления……………...49
3.3.3.Примеры, имеющие самостоятельное значение….. 50
3.3.4.Оператор Лапласса (лапласиан)……..……………...53 3.4. Представление дифференциальных операций
векторного анализа в декартовой системе координат....... |
55 |
3.4.1. Примеры, имеющие самостоятельное значение....... |
57 |
3.5. Преобразование объёмных интегралов в |
|
поверхностны... ……………………………………….…... 60 |
|
3.6. Дифференциальные тензоры……………………..…... |
60 |
3.7. Безвихревые и соленоидальные векторные поля….... |
62 |
4. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ |
|
ЖИДКОСТИ.... …………………………………………..... |
64 |
4.1. Способы описания движения жидкости……………...64 |
|
4.1.1. Подход Лагранжа......................................................... |
65 |
4.1.2. Подход (способ) Эйлера............................................. |
66 |
4.2.Кинематика жидкой частицы (движение жидкой частицы в общем виде)……………………………………. 69
4.3.Виды движения жидкости……………………….....… 77
4.3.1.Субстанциональная производная бесконечно
малой частицы жидкости……………………….....…......... 78
4.3.2. Обобщение понятия субстанциональной производной бесконечно малой частицы икости……….…81
4.3.2.1. Ускорение жидкой частицы…………………......…82 4.4. Субстанциональное изменение количественного параметра конечной массы вещества…………………....…87
4.5. Интегральная запись законов сохранения материи, количества движения и момента количества движения……..………………………………………..….…94
103
4.5.1. |
Закон сохранения материи.......................................... |
95 |
4.5.2. |
Закон количества движения........................................ |
95 |
4.5.3. |
Закон моментов количества движения...................... |
97 |
4.6. Дифференциальное уравнение закона сохранения |
|
|
материи (уравнение сплошности или неразрывности) .... |
.98 |
|
Заключение............................................................................. |
100 |
|
Библиографический список ……………………………....101 |
||
104
Учебное издание
Григорьев Сергей Васильевич
ОСНОВЫ МЕХАНИКИ ЖИДКОСТИ
Учебное пособие
Редактор Е. А. Четвертухина
Подписано к изданию 21.12.2021. Объем данных 4,3 Мб.
ФГБОУ ВО «Воронежский государственный технический университет»
394006 Воронеж, ул. 20-летия Октября, 84
105