Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

3367.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.11.2022

Размер:

4.53 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 1916 17 18 19 > Следующая >>>

станциональной производной необходимо расширить и обобщить.

4.3.2. Обобщение понятия субстанциональной производной бесконечно малой частицы жидкости

Проведём формальные рассуждения.

В общем случае движения жидкости имеются переменные во времени, которые рассматриваются как параметры жидкости.

Изменение какого-либо параметра можно представить как следствие, вытекающее из рассмотрения его в смежной точке пространства и в смежный момент времени.

	Поэтому полное приращение						…	определяется сум-
ного	…						…
мой двух приращений: временнóго … и пространствен-
	Приращение во времени при фиксированных коор-
		… =			…	.
динатах определяется символическим равенством:
	Пространственное изменение скалярного или век-
торного параметров на			основании формул (3.37) и (3.44) в
торного параметров на
суммируя оба		… = … = ( ) …
данный момент времени находится с помощью зависимости
									.
		приращения и деля на элемент времени ,
в котором		…	=	…	+ ( ) …,
в котором			=		+ ( ) …,
приходим к соотношению
				=
				=	,

есть скорость перехода от одной точки пространства к другой, т.е. скорость слежения за различными точками пространства.

Если объектом слежения выбрать какую-то частицу

жидкости, тогда скорость слежения			совпадает со скоро-
стью движения этой частицы	,	поскольку перенос взгляда

из одной точки пространства	в другую будет следовать за

перемещением этой массы (частички) жидкости. В этом
случае производная	…	обращается в	субстанционарную
Замечание:	…	= … + ( ) …	.	(4.17)
производную

Субстанционарная производная есть понятие не только математическое, но и физическое. Оно связано с изучением изменения некоторого параметра во времени при движении одной и той же массы жидкости.

4.3.2.1. Ускорение жидкой частицы


	Рассмотрим в качестве параметра скорость жидкой
частицы .
	Воспользуемся формулой (4.17) и в результате по-
где	–			=	=	+ ( ) ,
нием;				=	=	+ ( ) ,	(4.18)
лучим векторную форму записи ускорения жидкой частицы.
		называется субстанциональным (полным) ускоре-
	( )
		– локальным ускорением;
			– конвекторным ускорением.

Замечание:

1.Локальное ускорение определяется изменением вектора скорости в данной точке пространства.

2.Конвективное ускорение возникает вследствие того, что частица жидкости в процессе движения перемещается из данной точки в другую, в которой вектор скорости отличается от первоначального.

Из этого следует, что:

1.Если поле вектора однородно (т.е. вся жидкость перемещается поступательно как твердое тело), то конвективное ускорение равно нулю и все ускорение сводится к локальному ускорению, одинаковому во всех точках пространства, занятого движущейся жидкостью.

2.Если движение жидкости является установившимся (т.е. скорость жидкости в каждой точке не меняется

стечением времени), то локальное ускорение отсутствует, а имеется лишь конвективное.

Перейдем	от векторной формы записи ускорения к
=		+				+
=		+		+		+
координатной. В результате с учетом (3.36) получим:

=		+		+		+	(4.19)
=		+	+		+

Встречается и другая векторная запись ускорения. Перепишем (4.=19), заменив+ порядок+ сомножителей+ :

= + + +

= + + + .

Используя формулы произведения тензора на вектор (3.4) и (3.7) и выражение дифференциального тензора век-

торного поля (3.42) и (3.45), можно представить вектор ус-
где				=		∙ ,
		=			+		(4.20)
корения в следующей компактной форме:


	= ( ∙ )
			=					.

Для исследования (
				изучения)		вихревого движения

выражение (4.20) для ускорения следует преобразовать,

вводя компоненты вихря.								(4.21)
								(4.21)
	В соответствии с равенством (3.12) разложим тензор
на симметричную и антисимметричную часть
причем, как это следует из (4.8)					= + .
				1	+	1	+
				2	+	2	+
=		1	+			1	+		,
=		2	+	1		2	+		,
		1	+	1	+
		2	+	2	+

				0									1						+						1
		1		0						−2				−					+						2			−
=		1			−											0									1				−
=		2			−								1			0								−2					−
	−		1										1			−											0
													2
			2			−							2
									=								−					,
																						,
из выражения (3.34) следует, что:
									=									−
			Поэтому															−
			Поэтому											=				−		.
								тензор						можем переписать в следующем
виде:			=				21	0				−21									21								(4.22)
			=				21							0						−			21	.
						−		21						21										0				,		,
																												,		,
ра			Умножим дифференциальный тензор																							поля векто-
		на произвольный									вектор								с
Очевидно, что											∙ = +
Очевидно, что
			Представим
																								.					(4.23)
																								.					(4.23)
									произведение													в развернутом виде.
В соответствии с (3.3) и (4.22)															можем записать:
В соответствии с (3.3) и (4.22)

= 0 ∙

− 2

+ 2

+ 1

+ 0 ∙ −

(4.24)

+ −2

+ 2

+ 0 ∙

на

представим

в другой

форме.

Этот же вектор

определим)

векторное произведение

Для этого запишем (

−

∙

× =

∙

−

∙ ) +

(4.25)

∙

−

∙

Сравнивая выражения (4.24)

и (4.25), убеждаемся в

× ,

справедливости тождества

= +

× .

откуда прямо следует

формула2

Гельмгольца

(4.26)

Рассмотрим произведение дифференциального тен-

зора поля вектора

на тот же вектор .

вектора

, например, на ось

виде одну из проекций

Представим в развернутом

(

∙ )

В соответствии с (3.46) с (3.33) получим:

−

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 1916 17 18 19 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.11.20224.42 Mб13357.pdf
#
15.11.20224.42 Mб13358.pdf
#
15.11.20224.44 Mб03360.pdf
#
15.11.20224.51 Mб43364.pdf
#
15.11.20224.51 Mб03365.pdf
#
15.11.20224.53 Mб83367.pdf
#
15.11.20224.53 Mб23368.pdf
#
15.11.20224.54 Mб43370.pdf
#
15.11.20224.54 Mб03371.pdf
#
15.11.20224.58 Mб03375.pdf
#
15.11.20224.58 Mб13376.pdf