Однако если тензор α уже определен, то умножение его на вектор приводит к единственному решению и использование такой операции вполне целесообразно.

3.1.1. Правила действия над тензорами

Правило 1. Операция транспонирования тензора

В тензоре (3.7), представленном матрицей, поменяем местами строчки и столбцы. В результате получим но-

такой тензор называется симметричным. Замечание: при транспонировании= симметричный

тензор не претерпевает изменений, т.е. .

32

3. Антисимметричным или кососимметричным тен-

Т.е. в антисимметричном тензоре элементы главной диагонали есть нули, а остальные попарно равны и противоположны по знаку.

Правило 3. Умножение тензора на скаляр

Для того чтобы умножить тензор на скаляр, необходимо умножить на этот скаляр все элементы тензора.

Замечание: в обычной алгебре умножение на -1 меняет знак сомножителя. В тензорной алгебре, как и в алгебре векторов, такое же действие приводит к аналогичному результату.

Т.е. если антисимметричный тензор умножить на -1, то он изменит свой знак, а это действие тождественно транспонированию антисимметричного тензора.

Правило 4. Сложение тензоров

Для сложения тензоров необходимо сложить все их одноименные составляющие.

Т.е. сложение тензоров осуществляется так же, как

33

Особенно примечателен случай такого разложения тензора (нам в дальнейшем= 1 ( + понадобится) + 1 ( − ): )

где тензор2 сопряженный2 тензором α. (3.12)

Видим, что первый тензор есть симметричный, а второй – кососимметричный, т.о. мы установили теорему:

Всякий тензор может быть представлен в виде суммы симметричного и антисимметричного тензоров.

Ранее мы отмечали, что тензор составляется из векторов так же, как вектор составляется из чисел (скаляров), и в связи с этим записали равенства (3.6) и (3.7). С другой

шенно тождественны. Различие заключается в том, что вместо скаляров αx, αy, αz во втором равенстве стоят векторы , , , но это и есть как раз выражение того утвер-

34

ждения, что тензор составляется из векторов тем же способом, что вектор из чисел.

То обстоятельство, что в верхнем соотношении орты стоят после скаляров, несущественно, так как умножение скаляра на вектор справа и слева дает одинаковый результат и в этом смысле оба равенства можно записать похожим способом.

Замечание: для тензора местонахождение ортов около образующих его векторов имеет важное значение, поэтому уславливаются писать их впереди.

В равенстве (3.14) не определен никак знак умножение вектора на орты. Уславливаются называть такое умножение диадным и под ним понимают умножение без спе-

ставляющих, равенство (3.14) можно записать в виде сле-

матрице тензора стоят множители при единичных фундаментальных тензорах, подобно тому, как в матрице (3.5)

35

стоят множители при единичных фундаментальных векторах.

Рассмотрим равенство (3.14) и переставим в нем местами сомножители (орты и образующие тензор векторы). Тогда, производя перемножения, сопоставляя сумму аналогичную (3.15) и сравнивая множители при одинако-

Правило 5. Умножение вектора на тензор

Правило: для умножения вектора на тензор необходимо скалярно умножить этот вектор на ближайший к нему

1.Из первого и второго следует, что произведение вектора на тензор слева не равно произведению вектора на тензор справа (т.е. эта операция не коммутативна)

2.Из третьего и четвертого следует, что величина произведения не изменится, если при перестановке сомножителей тензор заменить на сопряженный.

36