них также невозможны и решения задач оптимизации и создание новой техники.

Рассмотрим математическое моделирование на примере изучения курса механики жидкости и рассмотрения некоторых практических задач.

Примечание: каждый шаг в развитии науки сопряжен с преодолением трудностей в постижении истины и введением все более сложных понятий и предположений.

Освоение знаний сразу на высоком уровне трудно для понимания. Эти трудности естественны, т.к. каждый человек, познавая новое, фактически повторяет путь, пройденный человечеством.

2. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ

2.1. Начальные понятия, свойства жидкости

Математики отличаются от других специалистов логичностью рассуждений и строгостью доказательств.

Постараемся с учетом этого рассмотреть основы механики жидкости, проследить логику её развития и введения понятий (гипотез).

При изучении курса будем вводить понятия и гипотезы по мере их усложнения и необходимости.

Первоначально рассмотрим жидкость, исходя из молекулярных представлений о строении материи.

Известно, что все тела состоят из молекул (мельчайших частиц), которые взаимодействуют между собой.

Твёрдые тела сохраняют свою форму из-за сильного взаимодействия (притяжения) молекул и жёстких связей между ними, не позволяющих молекулам свободно перемещаться по объёму, занимаемому телом.

11

В жидкостях силы притяжения во много раз слабее, но ещё достаточны для объединения молекул в некие ансамбли (частицы).

Слабость связей между отдельными молекулами (частицами) позволяет им перескакивать с одного места на другое, что и обуславливает текучесть жидкости.

Поэтому жидкость из-за действующих на неё сил не может сохранять собственную форму, и, сохраняя лишь объём, принимать форму занимаемого ею сосуда.

Примечание: жидкость как и твёрдое тело тоже меняют свой объём при изменении давления. Однако (для сравнения) при t=20° C изменение объёма газа (воздуха) примерно в 14 000 раз превосходит изменение объёма воды (жидкости) при равном увеличении давления.

Известны состояния вещества, называемые газами. Слово «газ» (от греческого – хаос) было введено Ван-Гель- монотом для определения вещества, способного занимать любой, предоставленный ему объём. Эта способность объясняется крайне слабыми силами взаимного притяжения молекул, благодаря чему они могут свободно перемещаться относительно друг друга.

Внимание:

1.Таким образом, жидкости отличаются от других тел свойством – текучестью.

Назовём меру лёгкости, с которой течёт жидкость– вязкостью.

2.Поместим «газ» в резиновую оболочку. Простым сдавливанием её убеждаемся, что на руку действует некая сила сопротивления, стремящаяся вернуть оболочке первоначальную форму. Назовём силу сопротивления – давлением. Давление сплошной среды - скалярная интенсивная физическая величина; характеризует состояние среды. Чис-

12

ленно давление равно силе сопротивления. В простейшем случае изотропной равновесной неподвижной среды давление не зависит от ориентации.

Важное замечание: известно, что при нагревании (или охлаждении) все тела изменяют свой объём. При этом газ во много раз больше изменяет свой объём, чем жидкость.

Вот эта особенность газа и обуславливает необходимость привлечения понятий термодинамики (теплообмена) при изучении их движения.

Теплообмен, вообще говоря, сказывается и на дв и- жении жидких сред. Известны, так называемые, конвективные потоки жидкости при её нагревании, т.е. действие теплообмена в жидкости при малом изменении её объёма проявляется косвенным образом, посредством влияния температуры на механические свойства самой жидкости.

Однако в нашем курсе «чистой» гидромеханики этими явлениями (теплообмена) для жидкости будем пренебрегать, т.к. их изучением занимается теория теплообмена.

Как разделить между собой понятия газ и жидкость, учитывая, что те и другие в бо льшей или меньшей степени обладают одинаковыми свойствами?

В связи с невозможностью такого разделения, мы будем пользоваться терминами:

–«капельная жидкость» (малосжимаемая жидкость);

–«сжимаемая жидкость» (газ);

–«жидкость», применяя последний в широком смысле слова, охватывающем как капельную жидкость, так и газ (т.е. под жидкостью будем понимать всякую среду, обладающую свойством текучести).

13

2.2. Гипотеза сплошности

Исследование течения жидкости существенно упрощается, если его рассматривать не как совокупность беспорядочно движущихся частиц (молекул), а как некоторую сплошную среду, лишенную каких либо пустот и присутствующую буквально в любой точке занимаемого ею пространства.

Т.е. введём гипотезу сплошности.

Важное замечание: введение гипотезы сплошности позволяет нам рассматривать макроскопические параметры (например, такие, как температура, давление) непрерывно распределенными в массе текущей жидкости и, следовательно пользоваться математическим аппаратом дифференциального и интегрального исчисления.

Заметим, однако, что в действительности капельные жидкости и газы состоят из молекул, отделенных друг от друга относительно большими промежутками (особенно это относится к газам) и поэтому просто вводить удобные нам представления, вообще говоря, мы не имеем права.

Такой произвол, если он не подкреплен надёжными данными, может существенным образом исказить истинные свойства среды, а, следовательно, и явления, которые в ней протекают.

Докажем правомерность использования нами сплошности:

Из курса физики известно броуновское движение. Т.е. в неподвижной среде (жидкости) наблюдается движение малых по величине объектов наблюдения. Значит, молекулярные эффекты будут проявляться и в том случае, если рассматривать движение в жидкой или газообразной

14