2.3.2.2.3.Тензор напряжения поверхностной силы

Т.е. необходимо преобразовать вектор

в вектор

напряжения силы на данную площадку:

,

(2.13)

где коэффициент

называется тензором и является вели-

= ·

чиной иного ранга чем скаляр и вектор.

2.

Тензор напряжений

отличается определен-

ными физическими свойствами. Тензор напряжений

яв-

ляется симметричным тензором и

геометрически представ-

ляется в виде поверхности эллипсоида. Поэтому в

литера-

n преобразовывался бы одинаковым образом в вектор ,

т.е. для всех точек пространства тензор

был бы одним и

тем же. В общем случае

меняется при переходе из одной

точки в другую, а в каждой точке ещ

может зависеть от

ё

равенство

времени. Иными

словами, справедливо

тензорного

, которое приводит нас к представлению

=

поля( , ,)подобно тому, как равенство

= ( , )

утверждает

существование векторного поля.

лишь самими необходимыми сведениями.

Рассмотрим операцию деления векторов. Пусть

.

и

:

есть частное от деления векторов

(3.1)

что это – скаляр, вектор или нечто новое?)

=

? (т.е.Перепишем (3.1) так:

.

(3.2)

Допустим, что – это

скаляр

, т.е. эти векторы

и

коллинеарны. Таким образом очевидно, что

скаляром

быть не может, так как этой величиной мы определили

частное от деления двух любых векторов, а не только

скаляр. Тогда векторы

и

отличаются только модулем,

направление же их либо

одинаково

, либо противоположно

Рассуждая подобным образом, легко установим, что

не может принадлежать и к классу векторов, поскольку

тогда под

следует понимать векторное произведение и,

значит векторы

и

должны быть

взаимно

перпендикулярны.

Таким

образом

ни

скаляр, ни вектор не

могут в

Остается

заключить,что

есть величина иного

которая называется тензором.

ранга,

Из равенства (3.2) следует, что вектор

будучи ум-

ножен на тензор

, даёт новый вектор

.

Таким образом, равенство (3.2)

можно рассматри-

вать как

определение тензора, т.е. под тензором будем по-

в другой.

Преобразование одного вектора в другой (в нашем

примере

в ) можно осуществлять различными способа-

,

,

ми. Можно

, к примеру, взять составляющие исходного век-

тора

и просто изменить длину каждого из них,

что эквивалентно

умножению скалярных величин

,

,

В результате

,

,

.

на некоторые числа

=

+

+

получим:

Но это далеко не

.

(3.3)

Очевидно, что если вместе с изменением длины ка-

ждого из векторов

,

,

будет осуществлен их по-

ворот на некоторые

углы

в пространстве

, то сумма этих

новых

вектор

векторов.

даёт вместо исходного вектора

другой

Формально

результат

такого

преобразования

будет

кими, что

,

,

векторами

,

,

та-

состоять в замене векторов

=

+

+

(3.4)

Замечание:

(3.4)

и (3.2),.

Сопоставляя равенства

можно утвер-

ждать, что векторы

,

,

образуют тензор .

,

составляют вектор .

не есть сумма векторов

,

,

тензор

,

а совокупность этих векторов составляет

тензор.

Это

,

аналогично тому,

что

совокупность скалярных величин

(3.5)

Условно это можно записать так:

=

Двойная черта, ограничивающая

матрицу, ставится

предполагаются некоторые действия над его элементами, в

(3.6)

то время как в матрице эти действия не подразумеваются.

=

Зная, что векторы

,

,

, имеют проекции на оси

координат, равные

,

,

,

,

и т.д., тензор

(3.7)

можно представить таблицей (матрицей) из девяти скаляр-

ных величин:

=

В записи (3.7)

тензора α

первый

индекс означает

11

12

13

(3.8)

= 21

22

23

строку, а второй столбец, встречается такая запись:

при

;

. 31

32

33

= 1,2,3

= 1,2,3

Такой тензор называют тензором второго ранга (по

числу индексов у компонент).

Тензор – более общее понятие, чем вектор или ска-

↔

= 1,2,3

ляр. Компоненты вектора имеют один индекс (смотри за-

пись (3.5)) или

,

т.е. вектор может быть за-

писан матрицей (таблицей

) из одного столбца.

Вектор называют тензором первого ранга.

Скаляр, представляемый буквой без индекса (a =

a(x,y,z)), называют тензором нулевого ранга.

Тензор второго ранга (3.7) в общем случае записы-

вается девятью функциями трех переменных.

Замечание: вектор

может быть получен из вектора

с помощью неединственной

тройки векторов ,

, .

α),

множество комбинаций

Существует бесчисленное

векторов ,

,

(т.е. бесчисленное количество тензоров

которые преобразуют вектор

в один и тот же вектор

. Это значит, что операция деления

векторов многознач-

на

, она не дает единственного результата (именно поэтому