Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

2495

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.11.2022

Размер:

1.71 Mб

Скачать

☆

1 / 181 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Воронежский государственный технический университет»

А. А. Катрахова, В. С. Купцов

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В ЭКОНОМИКЕ: РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПРИКЛАДНОГО ХАРАКТЕРА

Учебное пособие

Воронеж 2021

УДК 517.53(075.8)

ББК 22.1я7

K29

Рецензенты:

кафедра математического и прикладного анализа Воронежского государственного университета

(зав. кафедрой д-р физ.-мат. наук, проф. А. И. Шашкин); д-р экон. наук, проф. Е. П. Енина

Катрахова, А. А.

Математические методы в экономике: решение задач K29 прикладного характера: учеб. пособие [Электронный ресурс]. – Электрон. текстовые и граф. данные (2,14 Мб) / А. А. Катрахова, В. С. Купцов. – Воронеж: ФГБОУ ВО «Воронежский государственный технический университет», 2021. 1 электрон. опт. диск (CD-ROM): цв.– Систем. требования: ПК 500 выше; 256 Мб ОЗУ; Windows XP; SVGA с разрешением 1024x768;

Adobe Acrobat; CD-ROM дисковод; мышь. – Загл. с экрана.

ISBN 978-5-7731-0954-9

Рассматриваются вопросы применения математических методов в экономике и приводятся решения задач прикладного характера, что позволяет дополнить изучение основ экономической теории.

Издание предназначено для студентов экономического факультета направления подготовки бакалавров38.03.02 «Менеджмент» (все профили) при изучении дисциплины «Математика».

Ил. 19. Табл. 27. Библиогр.: 12 назв.

УДК 517.53 (075.8) ББК 22.1я7

ISBN 978-5-7731-0954-9 Катрахова А. А., Купцов В. С., 2021

ФГБОУ ВО «Воронежский государственный технический университет», 2021

ВВЕДЕНИЕ

Математическая экономика - это самостоятельная наука, сформировавшаяся в основном за последние четыре десятилетия на стыке математики и экономики. В рамках математической экономики разработана стройная система гибких экономических моделей, объясняющих основные закономерности функционирования рыночной экономики. Эти модели, а также методы их исследования, составляет теоретическую базу для построения и анализа конкретных данных экономикоматематических моделей. Математические модели, используемые для исследования проблем математической экономики, достаточно серьёзны, а результаты весомы и для экономической науки.

Данное пособие не является учебником по математической экономике, поскольку авторы преследовали гораздо более скромную цель - представить достаточно широкий спектр задач, доступных студентам 1-2 курсов экономических факультетов.

С одной стороны, задачи имеют экономико-прикладную направленность, а с другой – поддаются решению методами общего курса высшей математики.Таким образом, параллельно с изучением этого курса студенты получают возможность ознакомиться с приложениями математики к экономике. Одновременно решение предлагаемых задач призвано дополнить и облегчить изучение основ экономической теории, поскольку в задачах нашли отражение стандартные модели: рыночного и общего макроэкономического равновесия как в статистики, так и в динамике; модели поведения потребителя и фирмы. Из сказанного вытекает, что пособие можно рассматривать лишь как введение в прикладную математическую экономику.

Поставленная цель пособия определила его своеобразие. Во-первых оно сформировано не в порядке изучения тем курса математики, а по разделам курса экономики: рынок,

теория потребления, теория фирмы. Это есстественно создает определенное неудобство для преподавателей математики при выборе задач, соответствующих той или иной теме курса математики, но неудобство исчезает, если использовать данное пособие в курсе математической экономики, следующим сразу после изучения общего курса математики.

Во-вторых, чтобы сделать пособие предельно замкнутым, его раделыснабжены теоретическим введением, в котором содержится обзор необходимых понятий и описание используемых далее моделей. Этот материал носит справочный характер, облегчающий понимание прилагаемых задач.

Наконец, в-третьих, многие задачи содержат в свой постановке важную дополнительную информацию: определение новых понятий,формулировки, свойства, утверждения, а также необходимые пояснения.

Предлагаемое пособие будет способствовать развитию самостоятельного мышления и формированию профессиональных компетенций студентов, обучающихся на экономических специальностях в техническом вузе. Решение предложенных прикладных задач призвано дополнить и облегчить изучение «Основ экономической теории», а также может быть использовано при изучении таких дисциплин, как «Математические методы и модели в логистике», «Экономика предприятий» и других.

ГЛАВА 1

ОС Н О В Н Ы Е П О Н Я Т И Я И Ф О Р М У Л Ы

ПР Е Д Е Л Ь Н О Г О А Н А Л И З А

Предельный или маргинальный анализ (от англ. marginal - предельный) - это специальный аппарат, предназначенный для качественного и количественного анализа экономических ситуаций, соответствующих им математических моделей, и для

принятия рациональных решений. Предельный анализ включает в себя ряд показателей, характеризующих поведение экономических переменных и функций. В основе техники предельного анализа лежит дифференциальное исчисление и, в частности, понятие производной. Ниже приводится перечень наиболее общих и важных характеристик поведения функций, используемых в предельном анализе.

1.1. Приростные и предельные характеристики функции одной переменной

Сначала рассмотрим случай, когда анализируется поведение переменной у, зависящей от изменения лишь одной переменной х (одного переменного фактора). Математически это

означает, что мы имеем дело с функцией							= ( )		одной пе-
ременной (одного аргумента).							= ( )
Далее во всех формулах через х мы обозначаем произволь-
- абсолютное			∆y =	∆f(x) = f(x + ∆x) − f(x)
ное фиксированное значения аргумента, через								– его прире-
ние – величину, на которую изменяется значение∆.
	1)
		приращение или абсолютный прирост зависимой
переменной у (функции						), соответствующий изменению
		2)			(хх)+ ∆х
аргумента от значения х до (х)						;
- среднее			=
	приращение, или средний прирост, или средняя ско-

рость изменения зависимость переменной у(функции f(х)), соответствующее приращению аргумента ∆х; это разностное отношение характеризует среднее изменение функций, приходя-

щаяся на единицу приращение аргумента, при изменении по-
3) = (х)	= lim∆х→0	(х)
следнего от значениях до х+∆х;

- производная функции у = (х) в точке х – базовая характеристика функции в предельном анализы; трактуется как мгновен-

(функции f(х)) в точке х; подчеркнем, что всякий раз, когда та, или иная функция, используемая в экономической теории,

ный прирост или скорость изменения зависимой переменной у

употребляются в сочетании с эпитетом «предельный», то речь идет именно о производной данной функции по соответствую-

щей переменной (например, предельная выручка - это произ-

водственная

( )

функции выручки R(q) по объему продаж,

предельные

издержки -

это

производственная ( ) функции

предельная про-

издержек C(q) по объему выпуска продукции,

изводительность труда

это

( ), где

)

производственная

(х)

функция, а L затраты труда

т.д.);

(

- относительное

f( )

изменение (прирост)аргумента и соответст-

вующее относительное изменение (прирост) функции: являют-
∆х) ∆у = ∆(х)										у =
ся безразмерными величинами, показывающими, какую часть
(х)			составляют от исходных значений х и
	соответственно; умноженные на 100, они дают изменение
					1		1	Δf(х)		(1.1)
аргумента и функции, выраженные в процентах;
- темп прироста			5)		у	=	(х)
			зависимой переменной у (функции (х)), соот-
ветствующий изменению аргумента от значения х доf									х + ∆х;
если переобозначить				2
		1		2					,
	у1 = f(х1) = f(х), у2						= f(х2) = f(х+ ∆х)			(1.2)
			1 у2−у1				1	(х2)− (х1);		(1.3)
то формула		примет вид			= х + ∆х
то формула		х = х, х			= х + ∆х
			у1 х2−х1 = (х1) х2−х1

отсюда видно, что она может применяться даже в том случае,

когда значения функции известны лишь в отдельных точках (в частности, при табличном способе задания функции);


или	6)	1у			′	=		[ln у]	,	(1.4)
или		1у		= уу		=		[ln у]		(1.5)
			(	)			′(	)
	1 х

- мгновенный или точечный темп прироста зависимой пере-
(х)		= ( ) = [ln ( )]
менной у, или функция	(х), в точке х; совпадает с логарифми-
ческой производной функцииf		и в точке х; эпитеты «мгновен-

ный» и «точечный» часто опускаются; применение этих фор-

мул предполагает существование аналитической зависимости между у и х;

	или	7) Ех(у) = lim∆х→0 ∆∆ух//ху = ух,					(1.6)
			∆ (х)/ (х)		(х)	х	(1.7)
-	теоретическая или точечная эластичность переменной у или
-		Ех( ) = lim∆х→0	∆х/х	=		(х)

функции f(х), по переменной х (коэффициент эластичности у по х) – одно из основных понятий предельного анализа; является функцией аргумента х или, как часто говорят, определяется в

каждой точке графика у = (х); формулы (1.6), (1.7) выписаны для произвольного значения аргумента; они применяются при

наличии аналитически заданной зависимости у от х, причем эпитеты «теоретическая», «точечная» часто опускаются; как видно из определения, эластичность∆х → 0 – это безразмерная величина, равная пределу при отношения относительного приращения функции к относительному приращению аргумента или, что то же самое, пределу при ∆х→0 отношения процентного изменения функции к процентному изменению аргумента; из-за наличия операции предела лишь приближенно эластичность функции в данной точке х при изменении аргумента на 1 %;


8)			у+∆2у	(1.8)
Ех(у) = х2−х1
		у1+у2		(1.9)
	у2−у1	х1+х2
обозначенийх			(1.2),∆х
или, с использованиемЕ	(у) =		х+ 2

- дуговая эластичность переменной у по переменной х; вычис-


ляется	по	двум	заданным	точкам		графика
функции:	х, (х)	и (х + ∆х, (х + ∆х–)) –вв			случае формулы
(1.8), и	х, (х)	и (х + ∆х, (х + ∆х–)) –вв			случае	более

х1, (х1) , (х2,, (х2))

распространенной формулы (1.9); в каждой точке дуги графика, ограниченной этими точками, эластичность предполагается постоянной при данном методе расчета; имеется другой

вариант расчета дуговой эластичности, использующий
логарифмы –	logа(у2⁄у1) ,	(1.10)
в котором выбор	основания а роли не играет; формулы (1.9) и
	Ех(у) = logа(х2⁄х1)

(1.10) дают несовпадающие, но довольно близкие результаты.

1.2. Приростные и предельные характеристики функции многих переменных

Рассмотрим теперь общий случай, когда изменение пере-
х1, … ,		векторного аргумента х=	(			.	у = (х) =
менной	у может быть обусловлено изменением n переменных
(х1, … , хn)				х1, … , х )
	, т.е. когда мы имеем дело		с		функцией

Как и ранее, все приводимые ниже формулы будут относиться к произволь-

ной фиксированной точке х= (						),	которую		не будем
	всех		∆х = (∆х , … , ∆х )
					значком (скажем, х0 или как-
обозначать никаким специальнымх1, … , х
то иначе).		9)
∆х1, … , ∆х		9)						∆y = ∆(x) (x +
- приращение векторного				аргумента; составлено из приращений
- приращение векторного					1		n		−
∆x) − (x) = (x1		+ ∆x1, … , xn + ∆xn) − (x1, … , xn)							−
		независимых			переменных;

полное

превращение (прирост) функции в точке х; оно соответствует

10)

∆xiy = ∆xi

(x)

изменению, вообще говоря, всех независимых переменных;

(x1, x2, … , xi−1

, xi

+ ∆xi, xi+1, … , xn)

− (x1

, … , xn)

частное приращение функции по переменной

в точке х ;

обусловлено изменением лишь 1-ой переменной

хпри

постоян-

- частная производная∂xi

∂xi

= lim∆x →0

∆xi

ных остальных;

11)

∂y

∂ (x)

∆xi (x)

изменения или

у′х

, ′ (

), ( ))

х в точке х (дру-

функции по переменнойi

гие

обозначения:

;

характеризует

скорость

менных;

(х)) при изме-

прирост переменной y (функции

нении переменной их

и постоянных

значениях других пере-

или

12) Exi(y)

∂x∂xi xyi

(1.11)

- коэффициент частной

(f) =

∂xi

f(x)

(1.12)

∂f(x)

f(х)) по переменной

эластичностиi

переменной у (функции

в данной точке х (иначе - точечная част-

ная

эластичность

функции, зависящей от нескольких факто-

ров); так и в одномерном случае приблизительно показывает, насколько % изменится функция при неизменной i-ой переменной на 1% при неизменных прочих переменных;

13)	∆		( )			∆	(1.13)
- простейшая, но	наиболее				употребительная		приближенная
		=	f( )	≈ ∑ =1		( )

формула, ∆связывающаяу⁄у или ∆( относительное)⁄( )) полное приращение функции ( с частными эластичностями и относительными∆ / приростами независимых переменных (величинами ); представляет собой формулу Тейлора 1-го порядка, записанную через частные эластичности функции; её достоинство -∆все переменные в ней могут получить ненулевые приращения ; при уменьшении всех ∆xi формула становится

всё более‖∆точной‖ = ,(а∆вообще)2 + её+погрешность(∆ )2 не превосходит ве-

личины 1 ; для линейных функций формула является точной; отметим, что частные эластичности в формуле следует вычислять в базовой точке х; i-ое слагаемое в правой части формулы (1.13) характеризует влияние приращения ∆xi и переменной xi на относительный прирост функции; поэтому можно сказать, что в первом приближении относительный прирост функций, вызванной совместным изменением всех переменных, разлагается в сумму, слагаемые в которой характеризуют реакцию функции на изменение каждой переменной при постоянных остальных.

Задачи

1.1. Функция у = f(x) задана таблично:

	X	10	20		30	40	50	60	70	80
	y	35	150		210	250	270	288	305	315
Найти: 1. Cредний прирост. 2. Относительный прирост.
3. Темп прироста. 4.				Дуговую эластичность при изменении ар-
гумента х в следующих диапазонах:

а) от 10 до 20; б) от 40 до 50; в) от 70 до 80.

1.2. Для заданных функций найти: а) мгновенный прирост,

б) мгновенный темп прироста, в) точечную эластичность и вы-
1. y = 5	− 2x,					x1	= 1; x2	= 2;
числи то значения этих характеристик в указанных точках:
2. y = x2 + 3x + 1			= 0,5; x2 = 1,5;			x1	= 1; x2	= 3;
3. y = 1	+ 2x − x2x1		= 0,5; x2 = 1,5;
4. y = 1	+ 2	, x1	= 3,5; x2 = 5;
	1x − 3
	x−1			= 1; x2	= 4;
5. y = − 2 + 3 , x1				= 1; x2	= 4;
6. y = ln(1 + x)		+ 1 , x 1		= 2; x2	= 6;
					10

1 / 181 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.11.20221.7 Mб42485.pdf
#
15.11.20221.7 Mб12488.pdf
#
15.11.20221.7 Mб102489.pdf
#
15.11.20221.7 Mб02490.pdf
#
15.11.20221.7 Mб02491.pdf
#
15.11.20221.71 Mб72495.pdf
#
15.11.20221.72 Mб12496.pdf
#
15.11.20221.72 Mб02497.pdf
#
15.11.20221.72 Mб02498.pdf
#
15.11.20221.74 Mб02506.pdf
#
15.11.20221.75 Mб12508.pdf