2495

(при неизменных прочих факторах).

Изменение

выпуска

продукции при

небольших

Так как при =

∑ =1

выражается

полным

изменениях

затрат

приближенно

дифференциалом

( )

.

движении вдоль изокванты величина q не

( )

изменяется, то получаем следующее соотн шение:

предельные(4.7)

в

данной

0точкена

изоквантеизокванты.

Если

=1

( )

( )

производительности

и

отличны

от нуля, то

затраты, кроме затрат

+

i-го

и

j-го

ресурсов. Тогда из

= 0

соотношения (4.7) получим

( )

( )

/ .

на изокванте.

Отсюда имеем для

изокванты равенство:

каждой точки

= − /

Таким образом, при неизменном выпуске отношение

между

малыми

изменениями

ресурсов

обратно

пропорционально

отношению

их

предельных

производительностей, взятому со знаком “-“.

/

(4.8)

Величина = ( ), определяемая формулой

называется предельной

=

/ ,

нормой

замещения ресурса j на ресурс

i(MRS). Она показывает сколько единиц

i-го ресурса требуется

для замещения одной единицы продукции j-го ресурса при

сохранении данного уровня выпуска продукции. Отметим, что

точки

, вообще говоря, меняется при переходе от одной

величина

изокванты к другой.

Для количественной характеристики скорости изменения

предельной

нормы замещения

при

движении

вдоль

изокванты

используется

величина

,

называемая

(4.9)

( )

( .

эластичностью замещения ресурсов:

Она

приближенно= /

показывает=

,

(−на)

сколько процентов

изменится соотношение затрат

i-го и j -го

ресурсов,

если

предельная норма замещения изменилась на один процент.

Чем выше эластичность замены ресурсов, тем в более

широких пределах они могут заменять друг друга. При

замещены.

Наоборот,

при = + )

ресурсы полностью

бесконечной

эластичности

0)

нулевой

эластичности

(

взаимность замены

отсутствует. В

этом случае

ресурсы

=

эластичности замены двух ресурсов в промежду

.

Прямоугольная ломаная

ABO является изоквантой

при

сколь

угодно

большим

увеличением

другого

ресурса.

Две

1, 2.

“искривленные”изокванты имеют положительные эластичности

При этом изокванте, имеющей большую кривизну,

соответствует

меньший коэффициент эластичности:

.

Наконец

прямая

AC

представляет

собой

изокванту с

1

< 2

Предельная 1 1 + 2 2 = ,

1 2

бесконечной эластичностью замены ресурсов. Она имеет

уравнение

где

– положительные числа.

норма замещения ресурсов на этой изокванте не

меняется:

12

= −

12.

Рис. 4.1. Эластичность замещения ресурсов

Задачи

1/3

2/3

б)

4.10. Для производственной функции

1 =

2 = 4 ед. , 3

= 9 ед. ;

уровням выпуска

а) построить изокванты, отвечающие трем = 1

2

продукции:

1 ед.,

2

дать

2 = 4 ед.

значениях 1

и

построить норму технологического замещения

MRTS

фактора

1

= 2 ед.

2 = 4 ед. ;

при

фактором

для уровня выпуска

г) определить аналитически и графически (с помощью

чтобы выпуск

2

1 = 2

изоквант):

- значения фактора

при известном значении

с тем

продукции составил соответственно

1,

-4, 9

единиц;

2 = 8

- значение фактора

при известном значении

для

обеспечения тех же

уровней выпуска продуции.

1

4.11. Доказать следующие общие свойства изоквант:

а) изокванта может быть проведена через любую точку

пространства

факторов

производства (при n=2 –

плоскости

1, б2));две изокванты не могут пересекаться;

в) если изокванта

расположена выше и правее другой

изокванты

, то изокванта2

2

соответствует более высокому

уровню выпуска1 , нежели

;

г) изокванты имеют

отрицательный наклон;

1

д) изокванты имеют выпуклый характер.

4.12. Для функций задачи

4.2, которые могут

быть

а) построить карту изоквант;

б) найти предельную норму технологического замещения

в)

21

;

MRTS =

определить эластичность замещения

.

4.13.

Дайте математическое

объяснение того факта, что

21

изменении

затрат. Предположим,

что все

координаты

= ( 1. 2, … , ),

> 1.

некоторого вектора затрат умножаются на число a:

Производственная функция характеризуется

постоянной

отдачей от расширения

масштаба производства,

если выпуск

Так,

например( ,

) = ( ).

возрастает в той же пропорции что и затраты:

(4.10)

удвоение всех затрат

приводит к

функция характеризуется возрастающей (убывающей)

отдачей

от расширения масштаба производства,

если она возрастает

При

( )

> ( )( ) ) < ( )).

в большей (меньшей) степени, чем все затраты:

(4.11)

построении

производственных функций часто

пользуются однородными функциями.

Определение.

Скалярная

функция

f(x)

называется

однородной

функцией

степени

( ).

если

она

удовлетворяет

Однородная

( ) =

соотношению

Υ,

(4.12)

производственная функция при

-

возрастающей, а при

(линейно однородная

функция) –

Υ > 1

расширения масштаба производства.

постоянной отдачей от Υ = 1

Производственная

функция может

характеризоваться

постоянной

отдачей от расширения масштаба производства для

расширения

масштаба

производства,

определенным

для

т.е.

ℓ

= lim

∙

= lim

,

некоторого вектора затрат, является

эластичность производства

эластичность( )

( )

ln ( )

(4.13)

выпуска→ℓ по( отношению)

к параметру→ ln масштаба а.

удобное для практического применения,

представление.

более

Эластичность

производства

до

ускает

иное,

Т. к. ( )

=

( 1

, 2, … , ), то

( )

= ( ) .

( ) = ( ) ∙

=

( )

=1

=1

=1

Подставляя полученное значение

в выражение

(4.13) и осуществляя предельный

переход, получаем:

( )/

или

( )

=

( )

,

ℓ( ) = lim ( ) =1

=1 ( )

→ℓ

ℓ( )

(4.14)

= ℓ ( ),

ℓ ( ) =

( )

=1

где

( )

- эластичность выпуска

по отношению к

функции произвольной степени

эластичность производства

функции.

равна степени однородности этойΥ

4.18. Доказать,

что для вогнутости линейно однородных

является достаточным.

2

(4.15)

2 ≤ 0, = 1,2

функций с двумя ресурсами условие

= ( , )

производственная

функция

4.19. Дана двухфакторная

с постоянной отдачей

от расширения

масштаба

удовлетворяющая гипотезам

1)

и 2)

и условию (4.5).

1.

Привести данную функцию к соответствующей ей

переменные

= /

и k =

= ( ),

введя

относительные

2.

однофакторной функции

K/L.

Исследовать свойства функции

в частности,

убедиться в ее строгом монотонном

возрастании и строгой

= ( ),

вогнутости.

3.

Построить (схематично) ее график. Какой экономический

могут иметь переменные

и k?

смысл

4.20.

Для функций

задачи 4.2,

являющихся

только от отношения объемов их использования

.

2) эластичность замещения

выразить как

можно 2/ 1

.

(4.16)

все ресурсы полностью замещаемы.

Предельная

где A> 0,

Функция Кобба – Дугласа

(4.17)

( ) = 11

∙ 22 ∙ … ∙ .

Это наиболее распространенная функция: она имеет вид:

1

> 0, … , > 0.

взаимозамещаемы,

однако

Здесь

ресурсы также

пропорции его в общих затратах растут.

В логарифмической

форме соотношение (4.I7)

имеет вид:

ln 1 .

(4.18)

ln = ln +

водстваЭластичность

выпуска ℓ

= , а

возрастающая,

при ℓ ℓ( )

= ∑ =1 . При

ℓ > 1 имеет она

масштаб= 1 −

,

+1

< 1 −

эластичность произ-

а при

ℓ

убывающая отдача на

постоянная

производства. Выраженния для предельной

производительности

и

предельной

aj

нормы

замещения

следующие:

∂f

f(x)

xi

(4.19)

Таким

∂x

= a

xi

,

h

= −ai

∙ xj

образом, приi

фиксированномij

выпуске предельная

производительность падает с ростом затрат некоторого ресурса.

ресурса, т.е. для

растет с ростом удельных затрат i-го

Норма замещения

заменяет

j-й, а во втором – наоборот, i-й ресурс замещается

j-м (если

i-му ресурсу придать наименование капитала).

С

некоторыми другими важными свойствами и

Или в

1

(4.20)

= min ( 1

, … , ).

Такая производственная функция задается уравнением:

Здесь

Q –

0

0

0

(4.21)

= min( 1

, … , ).

нормированных переменных:

выпуск продукции,

–

нормирующий

множитель,

X – затраты ресурсов i-го вида0,

0

характеризует

удельные затраты i-го ресурса – затраты, необходимые

для

выпуска продукции в количестве

.

0

(4.22)

=

min 0 ,

0 .

В случае двух ресурсов (труд L0и капитала K) имеем:

горизонтальный лучи,

исходящие из точки

рационального

1 = и 2

= ).

силы – m,

в (

(при

количества

капитала и рабочей

Эта

точка

определяет

единственно

0

, 0)

возможную комбинацию ресурсов

L и

K для

выпуска

продукции в количестве

.

Увеличение затрат одного из