2495

f (x1,x2) = х1f(i,k), где k = х2/x1, где k = x2/x1.

Продифференцируйте его по x1 и по х2.

d= ( 2| 1)

( 21) =

( 21)*

( 121) .

2) Запишите формулу (4.9) в виде

( 2∕ 1)

:

21

2∕ 1

( 2⁄ 1)

151

для d21 представляет собой функцию аргумента k =

. По-

для df/dx

и

сле подстановки найденных в I) Представлений

2⁄1

1

df/dx2

и соответствующих преобразований получим:

(i, )

− ( , ))

(i, )

d21 = d21(k) =

( )

( )

.

2− (i, )

2

4.24. а) при aI> 0

выполн

. гипотеза (I): гипотеза (II)

не

ai, 0 <ai< 1.

в) Указания. Воспользоваться формулой

dij=

∕ .

зависящее от

Подставив известное значение для h

(− )

ij,

и

осуществив

дифференцирование

по аргументу

2 = ln(

.

2⁄1, 2⁄ 1)

г) Указание. I-й способ: Воспользоваться представлени-

ем (4.17) и предположив, что y и переменные

являются

функциями времени, продифференцировать

его по t. 2-й спо-

1 …

соб: воспользоваться формулой (1.15) для приближенного вы-

числения относительного вращения q/q.

4.26. Указания: а) При проверке гипотезы (II) убедиться

в

неположительной

определённости

матрицы

Гессе

d

d

( 2q<0, 2q<0, detH=0);

2

б) 2построить изокванты, отвечающие одному и тому же

ти предел QL при k→∞.

ij

∕

( ∕

Учитывая

постоянство отношения

4.27. Указания.

I)

,

имеем d

) = 0, откуда

указанное значение эла-

стичности замещения (d

= 0) следует из формулы (4.9). Для

видного соотношения

= amin(xi)), получите требуе-

мое. 2) Для

построения карты изоквант проведите луч OA с

min

( )

уравнением K=K0 /L0

L. Из точек луча проведите вертикаль-

4.30. Указания: а) поверить условия dq1/dk>0, d2q2 /dk2

<

0, f000 (0) = 0 и определить асимптоту qL= p0 (1-a)1/p, где p0 -

0

-p

1/p

0

(функция , f000(k) имеет вид :f000 (k) = p0

[a( k )

+ (1-a)]

, где

k

0

= K0 / L0 , k=K/L, q=Q/L);

0

f000

=

(

)

(

) и перейти к

1+

б) получить выражение для f000

=

1

и

1−а 0

-р

1+p

пределам при p→ 0.

приа

вычислении0

в)

предела

перейти к

предел и воспользоваться

нахождению lnA, где А = искомый l imp→ 0

000( )

limp→ 0 000( )

Лопиталя;

при

≥

предела

правилом

вычислении

0 0

рассмотреть

случаи k

k0и

k

≤ k0: прийти

к

функции

при

≤ 0

постоянными

∞( ) = {

0

при

≤ 0

или ∞( ) = 0 0 , 1 .

4.31. а) C(q) =

b (q-a), q > 0 (при a < 0), q > a (при a > 0);

б) C(q) = -

1∕

(q-a)1/a , q > 0 (приа< 0), q > a {при a > 0};

в) C(q) = w (c - − ), q> 0 (при а < 0), q>a {при a> 0};

г) C(q) = w(b+ loga

−R

). 0 <q<c:

д) C(q) = b

(е −с – 1), q> 0 (при с < 0), q>c

(при с > 0):

arcsin1(q-c), q>c;

е)C(q) =

b

ж)C(q) =

tg1(q-a), a < q < a + bπ

4.32. Указаниеb . Для решения задачи2.

, задаваемой соот-

(K, K; λ) = w1K +w2L – λ(q – aKaL1-a);

шения системы:

=0, dL = 0,

= 0.

Оптимальный вектор затрат (K*L*) находятся путём ре-

б) C(q) = w1K0 +w2L0 + (w1 (

2

)

+ w2

(

2

)

) e`

.

в) C(q) = {w1w2 `(−

1 ` +

1

` +

+

1+1 ) + w2 [w 1 ( 1 – b ) ]` (−

1+1 )}.

.[b1`1+1 w2` 1+− + (1-b)1+p w11+p] p *

1/v.

г) C(q) =

1+ 2

* q1/v

при условии

2

= 1−

1⁄

1

C(q) = ab1 * q1/v, L = 0, при условии

12

>1−

для общих издержек: TC= AC*q.

AC = 0.5q − 2 +

q3 ,

AVC = 0,5q − 2. AFC = q3 , MC =

б)

4.35. а) AC = 1 +

2

, AVC = 1, АFC = 2

, MC = 1

\q − 2;

1

,

AVC = q2 − 2q + 2,

APC =

1

AC = q2– 2q + 2 +

;q

гq),

MC = 3q2 − 4q + 2

;

в)

q10 + q .3 AVC =

q 10, AFC = q , MC3 = 0,5 10

д) AC =

e)

AC =

e0,5q

2

e0,5q

2

MC =

0,5q

(4 –q)q

+ q ,

AVC =,

(4 –q)q , AFC = q

(4−q)q2,

AC = 2q log (6 − q) + q

AVC =

q log (6 − q), AFC = q

;

;

2

1

q

2

1

3

2

1

2

1

MC = (6 –3q)ln3

3

q

3

;

ж)

AC =

q arcsin 8 +

q

,

AVC = q arcsin 8

,

AFC =

q MC =

,

з)643−q2

4

π

3,

4

π ,

3

0,4π

π

AC =

;

q tg0,1 q + q

VC = q tg0,1 q

AFC = q ,

MC = cos

0,1Заq-.

2

φ

4.36. a)

MC = dqd

= q1 q2 − 10q + 60; MC(20) = 60.

б) C(q) = 4q − 3; MC(5) = 17, MC(10) = 37, MC(15) =

MC(20) = 77.

Закон убывающей отдачи действует при всех значениях

q> 0.

в)

MC(q) = (q − 9)e .

Закон убывающей предельной

тельностиMC(q) = 4.

действовать со значения q = 8.

производительности начинаетq

q = 3.

г)

Закон убывающей предельной производи-

4.37. a) minAC ~ 7,29приq ~ 3,15; min AVC = 6 при

не выполняется.

q ~ 1,2; minAVC = −1

(

min AC ~ 4,75

при

при q = 0.

б)

q ≥ 1

этом АVC=0 при q=1).

AVC(q) ≥ 0,

Заметим, что величину AVCв данном случае имеет

смысл рассматривать при

, так,

чтобы

при

4.39.

AC = 6 q

− 2q + 13.

AC = pLk + lL

за тонну).

AVC = pLk

4.38.

1

2

(долл. за тонну);

(долл.

p1x1

4.40.

а)

+ p2x2

= const;

б)

2x1 + 3x2

= const.

Указание. Для построения карты изокост примите зна-

чения константы (уровня издержек), равными 1,3,6,9.

4.41.

а) Ненулевая функция спроса на затраты и, соот-

Ap(

1) (

ω2

)1− = 1

ветственно, ненулевая функция предложения фирмы находят-

ся при

условии

α

α

1ω−α

α

(*)

и имеют следующий

ω

вии

x2

= (

Ap)

1−

c,

q

ap

;

(*)):

1

вид:

x1

ω=

c 1

α

=

c

1

Или (что то же самое при усло-

α

cω2α

х1 = (

ω2

α

)p

)1/αc;

где с > 0 –

A(1 −

(1 − )p

x2

= c

,

произвольная постояннаяq = .

б) Функция спроса на затраты:

x1

= x1

ω

+ a11 p;

1 2

ω (a1 1)

1/b

(a2 2)

1/b2

1/b2

ω

ω

ω

ω

ω

q

= q

1(1 − b1) p

+

ρ .

г(q,) Функция, ) =

2(1 − b1) p

функция предложения фирмы:

x2

= x2

+ a22 p;

x1 = (Aρ) p

(

1)

1

[(

1)

1

1 + (

ω

2)1

2] +

1

1

спроса на затраты:

β

1

ρω

ρ v+

β

1ρ

β

1

ρω

1−v 1−v

1

1+

1

1+

2

2

1+

(1−v)

2

= ( )

1−

1−

2

1+

1

1+

1+

]

− (1− )

( 2)

[( 1)

+ ( 2)

−

1

1

ω

ρ

ω

= ( , 1

, 2)

1

1

( + )

Функция предложения фирмы:

1

+ ( 2)

2]

4.42.

a)=

( )

−

1−

[( 1)

1+

− (1− )

1− −

1

2

1+

(

, ) =

=

1

[

1− )

]1−.

;

= 1 [

(1− )

] . ;

(

)

(1 − )

.

1

1−

б) =

,

= −

1− ;

Указание: см. задачу 4.32 а).

1 − )

1−

(

, ) − ( ) (

)

.

Указание. Задача может быть решена двумя способа-

косновения (касания) изоквант и изокост, т.е. таких точен, в

12 изокванта = 12

изокоста

(I)

которых выполняются условие:

Уравнение изокост: 2 1

+ 2 2

= или

2 = −21

1 + −2.

2

1

;

2

изокоста = −

2

→

условие (I)изкокванта = −

2

1

3

1

не выполняется ни при каких значениях

= 2 2√ 1

2 11/3 22/3

=

2

долгосрочный путь расширения построить нельзя; 1, 2;

2

с3/2

2

или

2

3/2

;

б) уравнение изоквант:

13/2 ;

1

изокванта = −

4

1 изокоста = −3.

2

Условие (I) совместно с уравнением изоквант опреде-

1

= 21 (√32)2/3 или

2

:

ляет долгосрочный путь расширения√

1

х2

=

3

1.

1) = ln

в)

2 = 3√6 c

ln( 1 − 2)3 ( 2 −

2 = 1 +

( 1

−2)3

или

2

уравнение изоквант:

2

2

3с

1

изокванта = −( 1 − 2)4 ;

1

изокоста = −3.

1

= 2 + (92 )1/4 или

2

5

Долгосрочный путь расширения:

2

9 3/4

2

= 9

1

+ 9.

г)

2

= 1 + (

2 )

2

=

√32

2

(4x11

+ 4x32)−

21 = c или

уравнение изоквант:

2 1−

/4 1

2

√3

2

изокванта = (4 1

)

2

1

−

; 1

изкоста = −3.

Долгосрочный путь2расширения2 3/2

:

1 = 2

3√2

3+

или

2

= √312 4 3√4 − 912 .

1

√3

2

4.44.=а)3√По4 −

3√2 +

− ∙

= ( − ) ∙

П

= (

)

т−.е. (

) =

2

определению2

прибыли:

= ( − ) ∙ ,

величины

максимальной прибыли в

обоих

случаях

численно

равна

площадям

зашрихованных

q* и близлежащую точку

вертикальные прямые до пе-

и прямой

TR(q) = pq, получив отрез-

ресечения с кривой TC(q)

1 ≠

ки, численно равные П(q*) и П(

Величины этих отрезков

сравните, исходя из подобия

прямоугольников (построение

1).