2495

2 ( )

=

(3.2)

где

. 2

[ ( )] < 0,

Экономический смысл этих неравенств выражается

> 0 , = 1,

функций

полезности,

удовлетворяющих

следующим

( ) ≥

0 при > 0, =

(3.4)

1, ,

ослабленным условиям

монотонности и вогнутости:

(3.3)

(матрица отрицательно

полуопределена при x> 0).

( ) ≤ 0

выполнение для этих

функций

основных

неоклассических

1

условий и их ослабленных аналогов):

1 + 2 2;

1. =

1 ∙

2;

2. =

2

; 3. =

4.

= ( 1

+ 2)2;

5.

= 1

− 2;

+ ln 2 ;

6.

=

ln 1 + ln 2;

7 . =

−ln 1

8. =

1 + 2;

9.

= ln 2 1

− 12

;

10.

=

7 1 ∙ 2 ;

11.

= 1 + 2

;

12. = 100 −

11 2

; 13.

= 3

3 ( 1 − 2)

+ 2 ( 2

− 3) ;

14. =

(2 −6

1) + 2 − 1 ; 15. = 1 1− 1 +

2

2− 2

;

16.

= ( 1

− 3)

+ ln( 2 − 1) − 2 1+2 3+1

;

17.

=

20

50

−

1− 2−3 3

;

1

+ 2

18.

=

3

− 2 −( 2+2 1) −

3 1 3 .

теории

часто

используется

дополнительно предельные

условия:

lim →0+

( ) = −∞,

(3.6)

lim

→0+

( )

= +∞

(3.7)

( = 1, ),

(3.5)

(запись

x→0+

→+∞

( )

= 0

lim

( = 1, )

означает, что

→0+ для всех

t; аналогично по-

нимается запись x→+∞ ).

интерпретацию

Дайте экономическую

этим условиям.

Какие из функций задачи 3.1,

удовлетворяющих ослабленным

можно считать заданной не уравнением (3.8),

а равносильным

параметра с).1, 2) =

2

1

ему равенством вида

выразить

Оно получается, если из

равенства u(

2 = ( 1, с).

Таким образом, кривые безразличия – это просто

семейство графков

функций

),

соответствующих

различным значения параметра с2.

= ( 1, с

ослабленным аналогам относительно функции полезности:

1)

построить карту безразличия;

2)

вычислить градиенты функций в точках

(1,1.),

(1,2), (2,1)

и изобразить их.

1)

3.5.

Доказать,

что

из

основных

неоклассических

2 = ( 1, с):

что при любом

с

условий для функции полезности вытекает,

функция

монотонно убивает по

;

2)

является строго

выпуклой функцией по .

1

Дать экономическую интерпретацию свойствам функции1

.

У к а з а н и е. Т.к. функция

решения

получена из

равенства

путем

его

2 = ( 1, с)

2

1, ( 1, ) = .

тождество

то справедливо( 1, 2)

=

(3.9)

Продифференцируйте тождество

(3.9) последовательно

функции

( 1, с)

1

первую и

вторую производные

дважды по

1

,

найдите

функции

по

,

выразив их через производные

полезности.

Воспользуйтесь

свойства

нестрогой

доказательства свойств функции

.

= ( 1, 2)

удовлетворяющей:

( 1, с)

3.6.

Изобразите

карты

схематично на плоскости

безразличия

функции

полезности

,

1)

основным неоклассическим условиям;

2)

ослабленным аналогам неоклассических условий.

Обоснуйте вид кривых безразличия, исходя из свойств

функции полезности

Дайте экономическую

карт безразличия в обоих случаях.

интерпретацию геометрии = ( 1, 2).

соответствующих ей поверхностей

безразличия. Поясним

случай двух благ, и

= ( 1, 2),

смысл этого понятия.

Пусть сначала

т.е. рассматривается

функция удовлетворяет основным

близкая к х,

и

= ( 1, 2) −

∆2

= 2′ − 2

При смещении

∆1 = 1′ − 1

Пусть

′

′

′

точка на той же кривой, достаточно

пусть

,

.

точки

х

вдоль кривой вправо

-вниз на

2

уровень потребления блага

1 увеличится примерно на

∆2

единиц.

Одновременно

будет

потеряно

примерно

∆ 1

∆ 1

( )

единиц в потреблении блага 2. Выигрыш и потери

(1)

взаимно компенсируются, так как наборы

х, х’ равноценны

для потребителя (находятся на одной кривой безразличия).

( )

1

+

( )

2

≈ 0

(запись “…|S” указывает,

∆

∆

Поэтому справедливо приближенно равенство

∆ 2

1

( )′

2

1 ( )

( )

что

не произвольны, т.к.

х’

).

нство в виде

Перепишем это раве∆1

, ∆2

2 ( )

∆ 1

1

2

В пределе –

при

≈x’−

-

это равенство становится

= −

.

этого предела и называется нормой

точным.

Значение

→ ,

x S

= − 2

( ) .

(x)):

То с точностью до12( ) = lim ′ ∆1

→ ∆ 2

1

( )

замещения в точке х блага 1 благом 2 (обозначение - R12(3.10)

знака норма

замещения в точке х одного

полезностей.

понять,

2

= ( 1, с)

связана

с

равенством:

Легко

что

норма

замещения

производной

функции

(см.

пункт выше)

( 1

, ).

1

12( )

=

(3.11)

Т.е.

12( )

численно

1

совпадает с тангенсом угла наклона

касательной к графику функции

в данной точке.

Действительно, это

тождества

(3.9)

после

его

следует из1 = ( 1, )

дифференцирования по 1:

1

+ 2

′1( 1, ) = 0 .

(3.12)

′

1

( )

случае1 1

произвольного12

n, вычислив

В общем

(

, ) = − 2

( ) =

( ).

дифференциал функции u(x) вдоль данной поверхности

безразличия, получим равенство

( )

= ( ) = 0

(поскольку u(x) постоянна на1 S).

xi

xk

Пусть теперь все приращения d

= 0, кроме d

, d

.

Тогда величина

xj

( )

замещения

в точке

х блага i благом k.

называется нормой ( )

=

= −

( )

Содержательный смысл

все точки поверхности

безразличия равноценны для потребителя, и увеличение объема

:

потребления блага

k

на d

единиц позволяет сократить

потребление блага i

на

величину нормы замещения

( ),

умноженной на d ,

без изменения общей полезности.

Упражнение

3.8.

Для функций полезности по упр. 3.1

найти нормы замещения

,

21( ):

точке

а) в произвольной 12( )

в точках (1,4),

(9,16).

б) для функций двух переменных

+;

функции

полезности

при

выполнении

бюджетного

ограничения.

− = ( 1 , … , )

(3.13)

следующей

Математически, это означает, что вектор спроса данного

потребителязадачи′

– должен являться решением

максимизации

:

Здесь

( )

→ ;

(3.14)

< , > = , ≥ 0.

– вектор цен (при совершенной

конкуренции

определяется условиями на рассматриваемом

он= ( 1, … , )

<∙ . ∙>

рынке, и потребитель не оказывает влияние на уровень цен),

скобки

означают скалярное произведение векторов, в I–

решения задачи (3.13)-(3.14) при всевозможных ценах

и

бюджете (доходе)

I

.

задаче

Это означает, что хоть в данной ≥ 0

p и I следует

считать

фиксированными параметрами, их

≥ 0

конкретизация

до

определенных

числовых

величин

параметров

pи

I

на поведение функций спроса.

Поэтому

оптимальный

вектор

x* – решение задачи (3.13)-(3.14) –

оказывается

зависящим

от

параметров

p, I, т.е.

является

функцией последних:

орме

–

(3.15)

Функция

1

=

(

, … ,

, )( = 1, ).

или – в развернутой ф

=

( , ),

(3.16)

благо

i

называется

функцией

спроса

потребителя

на

( , )

функции

совпадают). Таким образом

потребителя

(при n=I эти

( , )

Геометрическая интрерпретация

задачи максимизации

полезности (рис. 3.2) состоит в следующем.

Разыскивая точку максимума u(x) при бюджетном

ограничении (и условии

), мы должны найти такую точку

на бюджетной

прямой,

через

которую

проходит

кривая

≥ 0

безразличия

u(x) = 0

с максимально возможные значением

числа с. В случае строгой вогнутости

u( x)

(для наглядности

именно этот случай иллюстрирует рисунок)

такая точка всегда

единственная

и совпадает

с

точкой

касания

кривой

безразличия ( ) = ( ) с бюджетной прямой.

наличии

бюджетных

ограничений

,

x>0

для

каждой

из

функций двух

переменных,

удовлетворяющей

1 1 + 2 2 =

ба))p = (1,3), I = 6;

ослабленным неоклассическим условиям из упр. 3.1, если:

p = (2,1), I = 4.

3.10.

Для

каждой из

функций

из

упр.

3.1,

относительно функции полезности:

3.18)

б) линейно-

( ) = 1 1 + 12 2;

а) линейная:

(3.17)

( ) =< , > + 2 < , >,

=

( 1, 2),

квадратичная:

2)

где

в)

матрица с

– симметрическая (2

элементами

(i, j =1,2);

ln( − )

(3.19)

(можно

( ) = ∑ =1

логарифмическая:

ограничиться случаем

n = 2 );

г) степенная или неоклассическая (типа Кобба-

Дугласа):