2495

2 а)

→ ∞

→ ∞

→ ∞

ограниченна сверху. Используя этот факт, нетрудно будет до-

казать, что

+ 2 −2

и

при

.

= 1 −1

+ , | =0

= 0, | =1 = 1,

= 1

Модель описывается соотношениями

−1

+ 2

−2.

1

2

,

где

1,2 =

1+√

2

= 1 1

+ 2 2 +

1− 1

2

, = 1 + +4,

2

, 1

=

[( 1

−

) −

Траектория

национального

дохода

0− 1/ , 2= 0−2−1−/

+

2

1

.

= ( 1 1 1 + 2

2) 1

+

( 1 2 2 + 2 2) 2

1− 1

− 2 ∙

−2

−2

( + )

→ ∞

22

.<I1 −−1

траектория

спроса

∙ ,

1

, то → , →

=

1− 1

− 2

= 1− 1

− 2

1

( + )

,

где

При

имеем:

если

; иначеесли 2

= 1 − , то.

–

равновесные

в

статистике

→ 2 +

, → 1

2 + + 2

2 +

значения

национального

дохода

и

спроса

соответ-

Во

→ ∞, → ∞.

ственно:

{ }

{ }

всех трех случаях последовательности

и

из-

меняются во времени монотонно.

| =0

= 1 −1

+ 2 −2

+ + ∙∆ ,

= 0, | =1 = 1,

2 б) Модель описывается соотношениями:

= 1

−1

+ 2

−2.

= ( 1 2 2

+ 2 2) 2

+ ( 1 +

са

,

=

( 1 1 1

+ 2 2) 2

−2

−2

2)

Траектория национального дохода, где

траектория спро-

1,2 = 1±2√

, = 12 + 4 2, 1,

=

[( 1

− 1 )

− ( 0 −

0)1/ ,a2=(YO−YO )q2−(Y1−Y1 )]D

Y1

где

= Yt

|t=0.

= Yt |t = 1, YO

Ни в одной

из моделей

начальные условия не влияют на ха-

рактер поведения во времени национального дохода и спроса.

5.15.

T =

b8

, b = v

а) 2 % ; б) 5ln 15 (лет).

5.16.

б)

ln(1+r)

1; следует воспользоваться

согласно условию

Y(T) = Yoe

baT

,

причём

Y(T) = YO +

Решение. Имеем

задачи. Подставляя в формулу решения

и логарифмируя, получаем требуемое.

rYO

5.17. Решение. Возможны два варианта описания прин-

ба)) по прошлому приросту:

It = v(Yt

− Yt−1)

ципа акселерации:

по текущему приросту дохода:

;

смысл вариантов!).

(объясните содержательныйIt = v(Yt−1 − Yt−2)

по доходу (т.е Ct = cYt)

из

→

В случае а) и функции потреблении без запаздывания

Yt = c Yt−1 + v(Yt−1

− Yt−1)

Yt = (c + v)Yt−1 − vYt−2.

1)K(t) = I(t)

условия равновесия получим

5.18. а) Решение. Из (26) имеем:

случае 1)

в непрерывном времени.

Kt − Kt−1 = It

в дискретном времени. Поэтому, в

2)

равновесия автоматически выполнено).

→ Y(t) = aK(t)

далее находм K = aY = ast

K(t) = KOe

Дифференциальное уравнение можно получить, исклю-

чая Y (или

K):

→

ast

и

C(t), I(t).

Случай 2) рассматривается аналогично.

в) Вместо гипотезы (26)

имеем:

-

в непре-

По

Kt − Kt−1

= It

− µKt−1 (as−µ)t.

K = ay −

рывном времени;

дискретном.

-Kв = I − µK

µK = ask − µK = (as − µ)K → K(t) = KOe

аналогии с

задачей:

а) далее находим:

б)

Y(t) = SJ

+ (YO

− SJ)ebst;

5.19.

в)

Y(t) = −(ρ−JOb ) eρt + [YO + (ρ−baJOb )] ebst;

а)

Y(t) = as t + bsba2 + (YO − bsa2)ebst.

ГЛАВА 6

0.9w, если x < 100,

6.1.

w, если x = 100,

y =

1.06w, если 100 < x ≤ 103,

1.1w, если 103 < x ≤ 105,

1.15w, если 105 < x ≤ 110,

ный

6.2. t> 8,4.

,

1,2w, если x > 110.

6.4.

NOe

где

NO

- численность населения в началь-

6.5.

−O,01pt

6.6.

−tv.

момент времениO,O1t

y =

kx, если x ≤ a,

6.8. aOe

(k + l)x, если x > a.

6.9.I, 4IA.

.

NOe

описывающее границу.

x1(5);

б) c =

x2(5)

неl ≥ 0.

6.13.

а) k ≥ 0,

6.14. а)

6.15.

u

будет больше

6.16. Функция,

250+3t+t2

2 t> 0,079.

5,4;

c = 0,4.

выражающаяy = v

=

2000+25t+t

;

имеем

2

N

c1 t2n.

,

.

nmin =

суммарные затраты, имеет вид

y(n) = c

n +

Исследовав эту функцию на экстремум,

y =

n2c c Nt

c1t

2c2N

1

2

промежутке (0, +∞)y = t (aO − aoφ1(t) + +φ2(t)).

6.17.

= 58;

t = 0,69 мес.

6.18.

Средние затраты в

единицу времени

I

Далее

в

6.24. t = a2kOk12.

6.25.v =

2ab .

6.19.

tgα =

√2.

sin α = n.

6.22.

3

6.23. 20 км/ч; 720000 руб.

6.28.

4а)× 4 × 2.

6.29.h = 2r = 23

2πV

.

6.30.

20 × 40.б)

6.26.

0.2; 0,4.

6.27.

6.31.

x1

= 0, x2

= 5000;6.32.x1 = 5000; x2 = 0.

6.33. x

= 600; x2

= 400.

dt.

∫

f(t)dt.

∫T

f(t)dt.

k

∫

1,5

f(t

∫

L

f(t)dt.

24

6.38.∫o

f(t)dt.

6,242y ; 7y ; 12 %.

6.40.a ∙ ln x+ba

6.34.

1

qko

(ekt

6.35.

руб.

− I); 20(√e − I).

6.36.

6.37.

)

k

o

k (e

(I − k ) + k1T +

− I); I6(e − I).

qo

kt

k1

6.39.

O

k1

O

б)

2 kT2);

K = yOT +

2 kT2; S = b(yOT +

6.41. 438000 квт.час.

k

(e

6.42.

49,5.

K = k

e

kT

− I ; S =3

kT

− I).

6.43.

yo

I

byo

I

а)

0.1b(

2

+

k

(e

6.45.a)

6 );

kT

− I).

6.44. а)

yoT

kT

б)

0.1byo

м3/c.

6.48.y = I000e0,0033t

;

6.49.

.

72

483840; б) 5003.

6

26.46.

6.50. y = at

2

+ bt + y0

.

0,01q

2

6.47.

3030 единиц.

.

6.52.y = 4 x + I6 − I6 e

4x

.

y = k

x

I

I

.

I

− k2.

6.54.y = AOe

N = NOe ; k = k1

.51.

6.53.

173,93 млн−kt . чел.;

184, 543 млнkt

. чел.

6.55. а) 162, 25 млн. чел.; 171,51 млн. чел.

б) 12, 204

6.57.

N = (N

+ k1)e

− k1 t − k1

млн. чел.

O

k2

k1t

k2

k2 .

6.56.

6.59.y = 2(I

2

6.58.

2

+ x − x2).

6.60. y = 2,106x − 5,103.

y = 0,85x + 0,57.

y = −0,071x + 4,098.

6.61. 1220

730

770 496

. 6.62. 82

44

55 150

6.63.

1470

0361315 894

63

77

39

62

720

1122

952 1110

36

160

120135

70

130

10

485

845

215

6.64.а)30

340

200 1065

410

190

б)

[

−40

710

10

в1480)

475

595

[102

204

81144

116];

181

161

160];

3607.

6.67.

24

12

32

41

22

. 6.66. Х = (1, 2).

6.65.

49

12

26

x1

= 10

x2

= 5; x3

= 10.

X =

(3

I1 3)

X = (5 4).

6.68.

x1 =

;

(d3

− 4d2

−3d1); x2 = 2d1 − d3; x3 =

2

21

12

23

.

6.69.

6.70.

2I (d1 − 2d2 + d3) .

6.71.

x1

+ 2x2

+ x3

+ 2x4 = 8,

(

)

.

7x1+2x3

= 8,

0

0 4

x1 + 4x4

= 8;

2

6.72.

x )

.

6.73.

1

1

3 .

(x ; 5 − 3x ; 12,5 − 0,5x ;

6.76.(4

14

1)60

(15

20

10)

0

(90

15

).

4 + x22

20 − x22

6.74.

4.

6 − x22

4 .

x22

(

10

)

4

.75.

4

6.77.

.

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение…………………………………………………...

3

Глава 1. Основные понятия и формулы предельного

анализа……………………………………………………..

4

1.1. Приростные и предельные характеристики

функций одной переменной……………………………...

5

1.2. Приростные и предельные характеристики

функции многих переменных…………………………….

8

Глава 2. Рынок: спрос и предложение…………………...

17

Глава 3. Потребления: модель поведения потребителя...

28

3.1. Функции полезности…………………………………

29

3.2. Свойства функции полезности………………………

30

3.3. Поверхности и кривые безразличия………………..

33

3.4. Предельная норма замещения………………………

35

3.5. Модель поведения потребителя……………………..

37

Глава 4. Производство: модель поведения фирмы……..

44

4.1. Производственные функции и их основные

cвойства……………………………………………………

45

4.2. Изокванты. Замещаемость ресурсов………………...

50

4.3. Отдача от расширения масштаба производства……

55

4.4. Основные производственные функции…………….

58

Глава 5. Динамические модели экономики. Рынок…….

87

5.1. Дискретная паутинообразная модель рынка с

запаздыванием предложения…………………………….

87

5.2. Модель спроса и предложения Гудвина……………

90

5.3. Непрерывная модель спроса – предложения……….

93

5.4. Влияние запасов на динамику рыночной цены

(модели в дискретном и непрерывном времени)……….

95

5.5. Простейшая модель динамики национального

дохода……………………………………………………...

100

5.6. Модель роста Харрода – Домара…………………...

106