2495
.pdfтаких моделей рассмотрено в разделе 5 и с ними полезно ознакомиться (задачи 2.30, 2.31 данного раздела).
Задачи
2.1. Кривая рыночного спроса задана уравнением р=100-20q. Определить функцию спроса, построить её график и график цены спроса.
2.2. Объем спроса на некоторый товар равен 20 и 50 единицам при уровнях цены в 160 и 100 ден. ед. соответственно. Предполагая линейную зависимость между объемом спроса и ценой, найти функцию спроса и уравнение кривой спроса.
2.3. Кривая рыночного предложения задана уравнением р=3q + 15. Найти функцию предложения, построить её график и график цены и предложения.
2.4. Объём предложения равен 10 и 20 единицам при уровнях цены в 27 и 47 ден. ед. соответственно. Предполагая линейную зависимость между объемом предложения и ценой, найти функцию предложения и уравнение кривой предложения.
да)) |
2.5. Охарактеризовать наклон кривой спроса и графика |
||||||||
= 20 – 2 ; ;бе)) |
= 10; |
в) |
= 16 − 3 ; |
г) = 10; |
|||||
функции спроса в следующих случаях: |
|
|
|||||||
|
= 40 – 10 |
= +4. |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
500 |
|
|
|
|
|
|
|
2.6. Найти точку рыночного равновесия для случая сле- |
||||||||
|
|
а) = 20 − 2 |
|
( ) |
б) = 20 − 2 |
( ) |
|||
дующих зависимостей (D) и предложения (S): |
( ); |
|
|||||||
|
|
в) = 2 + 4 ( ); |
|
г) |
= 5 |
|
|||
|
|
+ 4 = 30 |
( ) |
|
−2 = 8 |
( ) |
( ). |
||
|
2.7. |
2 − 3 = 7( ); |
|
= 2 − 4 |
|||||
|
|
Предложения характеризуется зависимостью р=q+1, а |
|||||||
точка рыночного равновесия такова: q*=6, p*=7. Найти соответствующую линейную зависимость спроса, если известно, что объём спроса равен нулю при цене в 19 ден. ед.
21
2.8. В предлагаемых двух вариантах определить точку
рыночного равновесия и величину избытка или дефицита това- |
|||||||||||||
2.9. = −1 , = 9− ; |
|
|
= 3 − 2 , = 2 − 1. |
||||||||||
|
5 |
|
|
6 |
|
цены |
1 |
7, |
2 |
=4. |
|
|
|
ра приа следующих) |
уровнях |
|
б) |
|
|
|
|
||||||
|
Использовать поведение функции избыточного спро- |
||||||||||||
са, т.е. разности (P) - |
|
(P) |
(и, в частности, найти точку рав- |
||||||||||
2.10. = 23 − 2 , |
= 3 − 1; |
б) |
|
= −1 |
, = 7− . |
||||||||
а) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
7 |
||
новесия): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Вычислить коэффициент прямой эластичности спро-
са по цене при следующих данных о сокращении объема спроса |
||||
а) = 10 (руб. ), |
= 30 (тыс. ед. ) |
|||
при повышении цены: |
|
= 20 (тыс. ед. ) |
||
р = 15 |
(руб. ), |
|||
б) р = 5 (руб. ), |
= 9 (млн. ед. ) |
|||
Сделать р = 6 (руб. ), |
= 7 (млн. ед. ) |
|||
вывод о характере спроса и изменения общих |
||||
расходов. |
|
Е ( ) = 0,8. |
|
|
чально 50 % своего |
|
|
||
2.11. Спрос населения на продовольствие характеризуется |
||||
эластичностью по доход |
|
|
Допустим, что первона- |
|
|
дохода население расходовало на продо- |
|||
вольствие, а затем доход вырос на 10 %. Определить, какую часть своего дохода население будет тратить на продовольствие, если цена на него, а также общий уровень цен останутся неизменными. Попытайтесь найти несколько вариантов решения этой задачи и сравните полученные результаты.
2.12. (Обобщение предыдущей задачи). Пусть эластич- |
||||
( ) = = |
|
|
|
|
ность спроса по доходу на некоторый товар задана и постоянно: |
||||
|
. Пусть, кроме того, в истекающим году рас- |
|||
ходы населения на данный товар составляют |
|
от дохода. |
||
В текущем году ожидается рост доходов |
населения на 8 % при |
|||
|
1 % |
|
||
неизменных уровнях цен на него и все прочие виды товаров и
22
услуг. Какой следует ожидать долю расходов населения на данный товар?
|
2.13. При какой цене эластичный спроса по цене равна |
||||||||||||
0,5, если функция спроса задана уравнением |
|
|
|
? |
|||||||||
|
2. = 11,5 |
|
|
эластичности спроса по цене, |
|||||||||
|
2.14. |
Найти коэффициент |
|
= 8 − 0,5 р |
|
||||||||
= |
Покажите0,18. что-то степенная функция |
спроса |
|
|
|||||||||
если |
|
15. |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
имеет постоянный коэффициент эластичности . |
|
||||||||
|
2.16. Л. Торнквистом были предложены следующие вари- |
||||||||||||
|
б) |
( ) = + −–товаров первой неоходимости; |
|
|
|||||||||
|
а) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
анты функции спроса (D), за исящие от дохода (I): |
|
|
|
||||||||||
(менее |
|
( ) = + |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
− |
для предметов “относительной роскоши” |
||||||
портных,( ) = + |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
необходимых); |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
в) |
|
|
− |
– для товаров роскоши (пошив у модных |
||||||||
|
Для каждой из этих |
, , − параметры. |
|
|
|||||||||
|
|
|
прически и дорогих парикмахеров, о д |
х на лучших |
|||||||||
курортах и т.п.). Здесь и выше функций найти коэффициент эла-
стичности спроса по доходу и построить график при экономически приемлимых условиях на параметры. Попытайтесь дать параметрам содержательную интерпретацию.
2.17. I. Функции цены спроса и предложения заданы соот- |
||||||
Предполагая свободную |
= 2 |
|
2 |
− 6 + 21 , |
= 3 + 2. |
|
ветственно |
формулами |
1 |
|
|
|
|
конкуренцию на рынке, определить:
1)величину совокупного дохода предпринимателя;
2)суммарные затраты на производство;
3)прибыль предпринимателя;
4)потребительская рента покупателя.
II. Пусть рынок стал более либеральным за счет внедрения на рынок новых продавцов. Функция цены спроса осталась= + 3.
прежней, а функция цены предложения приняла вид 5 Определить:
23
1) прирост потребительской ренты (С+);
2) какую часть прироста ренты обусловило увеличение объема предложения товара;
3) какую часть прироста цены обусловило уменьшение равновесной цены.
III. Пусть структура рынка кардинально изменилась: он стал полностью монополизирован= 6 + .3Теперь функция цены предложения принимает вид , а функция цены осталась прежней.
Определить:
1)размер потерь, которые несут покупатели;
2)потери в ренте, которое обусловлено уменьшением объема предложения товара;
3)потери в ренте, которые обусловлены увеличением
равновесной цены. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
числить эластичность спроса по = 6,4 + 0,17 − 1,08 |
|
|||||||||
|
2.18. Пусть функция спроса на товар в зависимости от до- |
|||||||||
хода (I) и цены ( |
|
P) имеет вид |
|
|
|
|
|
. Вы- |
||
I=120 руб., P=65 руб. |
доходу и цене при значениях |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Дать экономическую интерпретацию полученным резуль- |
|||||||||
татам. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.19. Определите коэффициенты прямой и перекрестной |
|||||||||
Вычислить = 8 − |
+ 0,2 ∙ |
|
, Ру |
|
|
|
|
|||
эластичности спроса на товар x, если функция спроса задана |
||||||||||
равенством |
|
|
|
, где |
|
– цены товара x, y. |
||||
|
Рх = 4, Ру = 5. |
|
|
|
|
|
|
|
||
цен: |
коэффициент эластичности при следующих уровнях |
|||||||||
2.20. Спрос на товар в зависимости от дохода (I) и чис- |
||||||||||
0,002 + 2,96 ∙ |
|
(N) |
определяется |
функцией |
|
|
||||
ленности семьи |
|
|
|
|||||||
|
|
, |
Определить |
коэффициент |
эластичности |
|||||
|
|
|
= 3,78 + |
|||||||
спроса по доходу и составу семьи при I=250 тыс. руб. и N=3 чел.
Результаты интерпретируйте.
24
0,4 + 1050, |
|
р |
|
|
р |
|
|
2.21. |
Дана функция спроса на автомобили |
шт.), |
|
– |
|||
|
|
где |
|
– цена автомобиля (тыс. руб. за |
= −2 |
− |
|
цена бензина (тыс. руб. за 10 тонн). Найти коэффициент перекрестной эластичности спроса на автомобили по цене бензина, если и предполагается, что одному автомо-
билю на весь срок службы требуется в среднем 10 тонн бензи- |
||||
р = 250, р = 125 |
|
|
||
на. Сделать вывод о типе связи между товарами. |
|
|||
|
2.22. Спрос населения на картофель характеризуется сле- |
|||
дующими коэффициентами эластичными: по цене |
|
|||
−0,5, |
по доходу |
( ) = 0,3. |
В будущем году ожидается, что |
|
|
|
( ) = |
||
общий уровень цен не изменится, цена картофеля возрастет на 5 %, а доходы на 4 %. Оценить насколько процентов изменится объем спроса на картофель? Укажите изменения спроса за счет изменения: а) цены; б) дохода; в) того и другого фактора.
2.23. Найти коэффициент перекрёстной эластичности спроса на товар А по цене в следующих вариантах функции спроса и уровней цен (результат объяснить): А по цене в сл е-
дующих вариантах функции спроса и уровней цен (результаты |
||
ба)) |
= −2 + 0,7 + 3 , |
= 2, = 5; |
объяснить): |
= 4, = 10; |
|
в) |
= −1,5 + 0,3 + 5 , |
|
г) |
= −1,2 − 4 − 10 , |
= 5, = 1; |
|
= −15 − 8 + 60 , |
= 2, = 3. |
2.24. Для следующих вариантов показатели эластичности |
||
спроса населения по цене, доходу в текущем году, данных об
изменении доходов и цены в будущем году (в %) найти общее |
|
ба)) |
( ) = −0,4 , ( ) = −0,2 , ∆ = 8, ∆ = 3; |
изменение спроса: |
|
в) |
( ) = −1,1 , ( ) = 1,4 , ∆ = 3, ∆ = 4; |
г) |
( ) = −0,7 , ( ) = −0,9 , ∆ = 6, ∆ = 2; |
д) |
( ) = −0,85 , ( ) = −0,5 , ∆ = 2, ∆ = 5; |
|
( ) = −2,2 , ( ) = 1,2 , ∆ = 5, ∆ = 1. |
|
25 |
2.25. Функция предложения (Q) на некоторый товар зави- |
||||||
положительная постоянная. |
|
= ∙ 1 + 2 |
|
|||
сит от |
двух |
факторов, |
необходимых для производства |
|||
этого р1товара, 2 |
, и |
имеет |
вид |
|
, где - |
|
Показать, что сумма эластичности по ценам факторов равна степени однородности функции предложения.
2.26. В эмпирических исследованиях часто перемещается допущение, что объём спроса на данный товар зависит от цены
на него (р), дохода потребителей на |
|
ынке (R) и общего уровня |
||
(индекса) цен на остальные товары ( |
|
) (иногда принимаются в |
||
расчёт цены одного-двух товаров, |
близких по характеру к да н- |
|||
|
р0 |
|
||
ному). |
|
|
|
|
Найти коэффициенты прямой и перекрестной эластично-
сти спроса по ценам, а также по доходу, при следующих зави- |
|||||||||
|
= |
0 |
+ , |
|
, ℓ, |
|
|
||
симостях функции спроса от указанных переменных: |
|||||||||
а) |
|
− |
|
где |
|
, |
|
- некоторые положительные |
|
стоянные. = |
∙ − ∙ 0 |
|
где |
, , |
- положительные по- |
||||
б) |
|
|
|
− |
|
|
|||
константы; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.27. Ценовая дискриминация монополиста. Если продавец монополист торгует на двух или более изолированных рынках с разными эластичностями спроса (функциями спроса), то он может устанавливать на них различные цены, руководствуясь, как обычно, стремлением максимизировать прибыль. В таких случаях говорят, что продавец осуществляет ценовую дискриминацию, назначая на одних рынках более высокую цену, чем на других.
Пусть фирма-монополист, располагая общим объемом предложения товаров в Q млн. единиц, торгует на рынках 1 и 2, которые характеризуется= 12 − 4 и кривыми= − спроса12 , заданными уравнениями . Соответственно, где b>0 - параметр. Найти оптимальное для фирмы распределе-
26
ние товара между рынками 1,2 |
и цены продаж |
|
|
в сле- |
|
а) = 1,8, |
= 6; |
б) = 12, = 60; |
|
||
дующих вариантах значения параметров b и Q: |
1 |
, 2 |
|
||
д) Q ив)b = 1, |
= 4; |
г) = 1,8, |
= 12; |
||
произвольно заданы (в этом варианте укажите допустимые диапазоны параметров).
2.28. Предложите свой вариант функции спроса предыдущей задачи и исследуйте проблему монополиста - дискриминатора.
2.29. Составьте в общем виде модель оптимального пове-
дения фирмы-монополиста, осуществляющей ценовую дискри- |
||||
общим 1( ) |
и |
2( ) |
|
|
минацию |
на |
двух рынках с функциями цены |
||
спроса |
|
|
соответственно |
и располагающей |
объемом предложения в Q единиц товара.
Покажите, что оптимальное распределение товара между рынками должно обеспечивать равенство предельных доходов на рассматриваемых рынках.
2.30. Паутинообразная модель рынка конкретного товара. Пусть функции спроса и предложения на свежие= 10 −огурцы0,5 , в пе=- −риод5 +с0,2номером, t имеют следующий вид:
где - цена огурцов на период t (скажем, слелующий год), ожидаемая фермерами в момент принятия решения о размерах производства. Предположим, что фермеры не
ожидают инфляции и считают, что цена в следующем году бу- |
||||
дет такой же, как и в текущем, т.е. |
|
цену (P) свежих огур- |
||
1. Определите объем продаж (Q)=и −1. |
||||
цов в период от 1-го до 6-го, если |
|
=220. |
||
2. Найдите равновесную |
цену и объем продаж и сделайте |
|||
|
Р0 |
|
|
|
вывод о стабильности равновесия на рынке огурцов.
3. Постройте график изменения цены во времени.
4г.1Решите) = 1,5ту же− 1,5задачу, , если= −: 25 + 2,5 −1 , 0 = 200;2) = 300 − , = −60 + 0,8 −1 , 0 = 250;
27
образомг3,) = 300 − 0,8 , = −60 + −1 , 0 |
= 25 |
(таким |
||
|
= −1 |
во всех вариантах примера применяется гипотеза |
||
|
|
|||
2.31.).Модель рынка Гудвина. |
|
|
||
|
Пусть, в отличие от модели предыдущей задачи, фермеры, |
|||
прогнозируя будущую цену, считают, что она будет средний |
|||||||
|
|
|
|
−1 |
+ −2. |
|
|
арифметический из двух последних фактических цен, т.е. |
|||||||
|
|
функция спроса и предложения из |
|||||
Используя варианты = |
|
2 |
|
|
|||
предыдущей задачи, иследуйте соответствующие |
аналоги мо- |
||||||
дели Гудвина и сравните выводы. |
|
|
|
||||
Примечание. В вариантах |
|
|
|
у функции необхо- |
|||
потезу−1 |
Р |
|
|
переменить обновлённую ги- |
|||
димо |
заменить на , а затемг1) − г3) |
|
|
||||
относительно ожиданийе |
фермеров. |
|
|
||||
ГЛАВА 3
ПО Т Р Е Б Л Е Н И Е: М О Д Е Л Ь П О В Е Д Е Н И Я
ПО Т Р Е Б И Т Е Л Я
Потребителями называются отдельные лица, или группы лиц с общим доходом, расходуемым на потребление товаров и услуг. Примером потребителя является семья.
Целью теории потребления является изучение поведения отдельного потребителя с точки зрения рационального распределения бюджета. Основу теории потребления составляет модель поведен ияпотребителя, которая позволяет получить инyдивидуальную функцию спроса потребителя, зависящую от рыночных цен и бюджета.
28
3.1.Функции полезности
Вмикроэкономическом анализе при построении модели поведения потребителя делается предположение, что каждый способен сделать выбор между любыми двумя возможными наборами товаров (благ), т.е. указать, какой из них предпочтительней, или сделать заключение о их равноценности.
Если рассмотреть экономику, в которой выпускаются и
доступны потребителю n видов товаров, то любой возможный набор товаров представляет собой n-мерный вектор x = (x1,…,xn) ≥ 0, в котором x1 - объем потребления товара вида t. При некоторых допущениях технического характера из предложения о способности потребителя к выбору вытекает (как установил Ж. Дебре) существование индивидуальной функции полезности потребителя; u = u(x1,…,xn) = u(x).
Таким образом, каждая функция полезности зависит от векторного аргумента и представлена на неотрицательном ортанте +. Индивидуальная функция полезности отражает вкус и предпочтения данного потребителя в следушем смысле: если x = (x1,…,xn) иx’= (x1’,…,xn’) - два возможных набора благ, тоu(x) ≥u(x’) в том и только том случае, если набор x “не хуже” набора x’ для потребителя, и u(x) = u(x’), если и только если наборы x, x’ равноценны для потребителя. То функции полезности служат для ранжирования потребителем возможных наборов благ по уровню удовлетворения, который они ему доставляют. Частная производная функции полезности по
переменной |
x1 называется |
п |
редельной полезностью |
блага |
||||||
|
M u(x)= |
∂u(x) |
=u |
i |
(x) |
|
(i = 1,n ). |
(3.1) |
||
или товара t, обозначается ( ). Следовательно, |
|
|||||||||
При |
фиксированномi |
∂ xхi |
|
величинаx |
|
позволяет |
||||
|
|
|
|
|||||||
судить, на |
сколько увеличится, или |
уменьшится уровень |
||||||||
|
( ) |
|
|
|||||||
полезности при незначительном изменении потребления 1-го товара, если объемы потребления других товаров останутся
29
неизменными. Это вытекает из приближенной Тейлора∆для( )приращения= ( + ∆)функции− ( ) ≈u(x):∑ =1 ( ) ∙∆
∑ =1 ( ) ∙∆ ,
где ∆x = (∆x1,…,∆xn ).
формулы
=
Если положить в ней ∆xj = 0 при всех j ≠ i, то получим
приближенное равенство для частного приращения функции u(x)∆ по( )переменной= ( 1, … , −:1, + ∆ , +1, … , ) − ( 1, … , ) ≈ ≈ ( )∆ = ( ) ∙∆ .
Отсюда следует поясняемое свойство предельных полезностей.
3.2. Свойства функций полезности
Экономическийсмысл функции полезности представляет к ней ряд естественных требований, так что отнюдь не любая функция может выступать в качестве функции полезности.
В неоклассической теории потребления обычно принимаются следующие основные гипотезы относительно
функции полезности: |
( ) > 0 |
|
||||
x> 0иi = |
|
|
|
|
||
(1) |
|
u(x) с трого монотонно возрастает |
по каждой |
|||
(2) |
|
|
|
|
|
|
|
1, ; |
e. предельные полезности |
|
|
для всех |
|
переменной, т. |
|
|
||||
|
u(x) |
являются строго вогнутой функцией при x> 0. |
||||
Гипотеза строгой вогнутости (1)содержательно означает, что увеличения потребления любого блага ведет к повышению
уровня полезности. Ее называют также |
аксиомой |
ненасыщения. |
|
Гипотеза строгой вогнутости (2), |
равносильная |
отрицательной определенности матрицы вторых производных функции полезности, включает в себя, в частности, условия строгой вогнутостипо координатам:
30