2495
.pdfд) постоянной |
( ) = 1 |
|
2 |
|
; |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
(3.20) |
||
|
|
|
|
|
( |
|
|
эластичности (убедитесь в выполнении |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
)1− |
|
|
||||
этого свойства!), или, кратко, функция |
|
OBS: |
|
|
(3.21) |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
случаем= |
|
n = 2); |
|
− |
|
|
|||||||||||
(можно ограничиться |
|
=1 1 − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
) |
|
|
= |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 1 |
+ 2 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
е) показательные: |
1 |
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
1 |
( |
) |
|
|
|
|
|
1 |
+ 2 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2) ( ) = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
В случаях |
в) и д) |
обратите внимание на область |
|||||||||||||||||||||
3.13. 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
определения функции и дайте экономическую интерпретацию |
|||||||||||||||||||||||
параметра |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Удовлетворяют |
|
ли |
|
|
|
|
функции |
(3.17)-(3.21) |
|||||||||||||||
предельным |
условиям |
|
(3.5)-(3.7), |
|
|
если |
параметры |
этих |
|||||||||||||||
функций |
обеспечивают |
|
выполнение |
основных |
или |
||||||||||||||||||
ослабленных свойств функции полезности. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
Пояснение. |
В случаях |
(3.19), (3.21) |
|
вместо х = 0 в |
|||||||||||||||||||
предельных условиях следует рассматривать |
|
|
, … , ). |
||||||||||||||||||||
3.14. Постройте карты безразличия для̅= ( 1 |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
функций |
(3.17) |
|
–(3.21) с экономическими приемлемыми значениями параметров.
3.15. Для каждой из функций (3.17) – (3.21) требуется: а) определить функцию спроса; б) проверить ее на инвариантность – неизменность по
отношению к первоначальному изменению цен и бюджета;
в) вычислить эластичность спроса от цен и бюджета. |
||||
( ) = 4 11 |
22, |
если |
при ценах |
1 = 1, 2 = 2 спрос |
3.16. |
Оценить |
параметры |
функции потребления |
|
составляет 10 и 5 единиц соответственно.
3.17. Пусть имеется ряд наблюдений за ценами, доходами и спросом. Определить, в каком и двух случаев
41
( ) = 11 |
2 2 |
. Каковы параметры |
1, 2 |
в этом случае? |
(табл. 2.1, 2.2) в качестве функции полезности можно принять |
||||
|
|
Таблица 2.1 |
|
Таблица 2.2 |
Наб- |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
люде |
|
|
|
|
|
|
ния |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
1 |
60 |
80 |
100 |
120 |
183 |
|
1 |
1 |
2 |
2 |
3 |
|
|
1 |
2 |
1 |
3 |
2 |
|
x2 |
30 |
40 |
25 |
30 |
30 |
|
p2 |
||||||
x1 |
30 |
20 |
50 |
20 |
45 |
|
Наб- |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
люде |
|
|
|
|
|
|
ния |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
1 |
120 |
120 |
300 |
150 |
250 |
|
80 |
2 |
5 |
10 |
6 |
|
|
9 |
6 |
0,9 |
0,5 |
0,8 |
|
2 |
64 |
36 |
36 |
9 |
25 |
|
1 |
60 |
8 |
125 |
125 |
125 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
3.18. |
Задачи |
максимизаци и |
дохода, |
гарантирующего |
|||||
заданный |
уровень полезности. |
В |
этой |
задаче, |
которую |
||||
принято называть |
взаимной |
по |
отношению к |
задаче, |
|||||
максимизации |
полезности, |
потребитель |
|
минимизирует |
|||||
функцию |
|
|
< , > |
|
|
|
|
(3.22) |
|
при условиях |
|
|
|
|
|
||||
Вектор цен |
уровень полезности |
|
|
(3.23) |
|||||
|
считаются при |
||||||||
|
|
|
p иu(x) ≥ ν , |
x ≥ 0. |
|
|
|
|
|
этом заданными. |
Дайте геометрическую |
интерпретацию |
|||||||
взаимной задаче в случае вогнутой функции полезности |
u(x) |
||||||||
(считая p> |
0 |
и n=2). Найдите решение взаимной задачи в |
|||||||
случае логарифмической, степенной и CES функций двух благ |
|||||||||
((3.8)–(3.10)). Пусть |
|
|
|
|
|
– |
набор |
||
потребления, |
минимизирующий доход (т.е. решение взаимной |
||||||||
|
( , ) = 1( , ), 2( , ) |
|
|
||||||
задачи), |
а |
d(p,I)=( |
|
|
|
– функция |
спроса |
||
|
|
|
|
|
случаев, указанных в |
|
проверьте |
||
потребителя. В каждом 1из( , ), 2( , )) |
|
, , |
|
|
|||||
выполнение равенства: |
|
|
( , ) = (p, I), |
|
(3.24) |
||||
|
|
, |
|
|
|
(3.25) |
|||
|
|
, ( , ) = ( , ), |
|
|
|
||||
42
где u*(p,I) = u(d(p,I)) – максимальный уровень полезности, а J (p,V) = J( (p,V)) – минимальный доход. Какие выводы можно сделать при выполнении равенств (3.24), (3.26)?
3.19. Экономисты классической школы считают, что субъект сам влияет на величину своего дохода I путем распределения календарного времени на рабочее и свободное. Это распределение субъект находит из критерия максимизации функции полезности.
Пусть функция полезности субъекта зависит от дохода
I, свободного времени |
r и имеет вид: |
|
|
|
|
Если T – |
||||||||
распределяемое календарное время, |
|
|
ставка заработной |
|||||||||||
( ,- ) = √ . |
|
|
||||||||||||
платы субъекта, |
а |
D |
- его реальный |
доход от имущества, то |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
где разность |
Т – r - |
|
( − ) + − , |
|
|
|
|
|
||||||
бюджетное ограничение субъекта таково |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
рабочее время. |
|
|
|
|
|
|
||||
Считая |
величины T, |
|
, |
D |
заданными, |
найдите |
||||||||
оптимальное для субъекта |
распределение времени и доход. |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
3.20. Поведение домашнего хозяйства определяется |
||||||||||||||
где С – |
объем |
|
u( , ) − ( − ), |
|
|
|
|
|||||||
стремлением максимизировать функцию полезности |
|
|
||||||||||||
календарное. |
|
потребления; |
N – рабочее |
время; |
а T |
- |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Возможный объем потребления ограничен доходом от |
||||||||||||||
продажи |
труда |
по |
ставке |
зарплаты |
|
, |
отнесенной |
к |
||||||
рассматриваемому |
периоду времени |
и |
доход |
с капитала |
по |
|||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||
процентной ставке i, также отнесенной к рассматриваемому периоду.
Считая, что капитал не может ни “проедаться”, ни
возрастать (т.е. K = constr), а уровень цен p и ставка |
|
|
заданы, определить объем потребления и предложение |
труда |
|
|
|
|
домашнего хозяйства.
3.21. О нерациональной кооперации двух экономических агентов, при которой более производительный агент
43
наказывается. Два агента, используя один фактор – труд, производят огурцы по технологии с постоянной отдачей от масштаба затрат труда. Агент 2 вдвое производительней агента 1: час работы агента 2 дает 2 мешка огурцов, в то время как час работы агента 1 дает 1 мешок. Располагаемые запасы труда каждого агента соответствуют 10 часам рабочего времени, а
запасов |
огурцов |
у них нет. |
Функции |
полезности агентов |
|
где х – |
затраты |
( , ) = |
(10 − ), |
|
|
совпадают и имеют вид |
3 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
труда в часах, а |
y– количество собранных |
||
огурцов. Кооперируясь, агенты решают строить свое поведение, исходя из стремления к максимизации суммарной полезности.
Покажите, что при такой кооперации агент 2 наделяется в 4 раза меньшим свободным временем и получает вдвое меньше огурцов, нежели агент 1. На какой основе может строиться альтернативный вариант кооперации агентов?
ГЛАВА 4
ПР О И З В О Д С Т В О, М О Д Е Л Ь
ПО В Е Д Е Н И Я Ф И Р М Ы
Под производством |
будем |
понимать |
преобразование |
|
ресурсов |
(факторов производства) |
в продукты (товары и |
||
услуги). |
Это преобразование осуществляется |
предприятием |
||
(фирмой), реализующей готовую продукцию потребителям или другим предприятиям (фирмам). Целью теории производства является изучение поведения фирмы с точки зрения рационального функционирования. Основу теории производства составляет модель поведения фирмы, которая позволяет получить функцию предложения фирмы, зависящую от рамочных цен на продукцию и ресурсы.
44
4.1. Производственные функции и их основные свойства
|
|
Пусть фирма производит только |
один вид продукции, |
|||||
|
|
|
|
|
≥ 0, |
= 1, . |
|
|
используя несколько видов затрат (ресурсов). Обозначим через |
||||||||
|
количество затрат j-го вида |
|
|
|
Тогда любая |
|||
|
|
= ( 1, … , ) ≥ 0, |
|
|
|
собой n-мерный |
||
возможная |
комбинация затрат предоставляет |
|
||||||
вектор |
|
|
называемый |
вектором затрат. |
||||
|
|
Каждому вектору затрат |
соответствует единственный |
|||||
максимальный объем выпуска, соответствующий данному вектору затрат. Зависимость между максимально возможны м объемом выпуска за определенный промежуток времени и
затратами ресурсов оказывается производственной |
функцией. |
||
Обозначив через q объем выпуска, производственную |
|||
Эта |
= ( ) − ( 1, … , ). |
|
|
функцию можно записать в виде |
(4.1) |
||
|
функция определена на неотрицательном |
||
ортанте |
Будем далее предполагать, что производственная |
||
функция одважды. |
непрерывно дифференцируется |
при x> 0 |
|
(объясните экономический смысл этого предположения).
Частная |
производная |
производственной |
функции |
по |
||||||||||
(предельным |
|
|
|
|
|
|
( ) |
|
|
|
. |
( ). |
|
|
Таким образом |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
переменному |
|
называется |
предельной производительностью |
|||||||||||
|
|
|
|
|
( ) = |
|
, |
( = 1, ) |
|
|
|
|||
|
|
продуктом) |
j-го ресурса и обозначается |
|
|
|||||||||
С |
|
|
|
|
|
|
точки |
|
зрения |
|
предельная |
|||
экономической |
|
|
|
|
|
|
||||||||
производительность |
( ) |
приблизительно равна |
приросту |
|||||||||||
объема выпуска, полученного за счет увеличения затрат j-го ресурса на единицу при неизменимых затратах прочих ресурсов (объясните эту интерпретацию, основываясь на понятии дифференциала функции). Экономический смысл производной функции предъявляет к ней соответствующие требования. А именно, принимаются следующие основные гипотезы относительно производственной функции:
45
1)f(x) строго монотонно возрастает каждой переменной( ) ≥ 0, т.е. предельные производительности1,
,для всех x> 0 и j = ;
2) f(x) является строго вогнутой функцией при x> 0. Гипотеза строгой монотонности 1) содержательно означает, что увеличение использования любого ресурса ведет к
соответствующему увеличению объема выпуска продукции. Гипотеза строгой вогнутости 2), равносильная
отрицательной определенности матрицы вторых производных
(матрицы Гассе), включает в себя, в частности, условия строгой |
||||||||
2 |
= |
|
|
( ) < 0 |
> 0, = 1, |
(4.2) |
||
вогнутости по координатам: |
|
|
|
|||||
2 |
|
|
|
|
|
известный закон |
||
Соотношения |
(4.2) |
выражают |
||||||
|
|
|||||||
убывающей отдачи: если количества всех факторов, кроме j-ого фиксированы, то предельный продукт любого фактора j убывает по мере увеличения затрат данного фактора.
В прикладных задачах допускается использование
производственных функций, удовлетворяющих |
ослабленным |
||
условиям монотонности и вогнутости: |
|
||
Т.е. матрица Гессе |
( ) ≤ 0 |
приx> 0; |
(4.3) |
|
( ) ≥ 0 |
при x> 0, |
(4.4) |
отрицательно полуопределена при х > 0. Нетрудно заметить, что свойства производственных
функций в точности совпадают со свойствами функций полезности (глава 3). Частным случаем производственной
функции (4.1) является |
так |
называемая |
однофакторная |
||
производственная функция |
|
де х – |
единственный |
||
переменный фактор |
производства. Как правило, привлечение |
||||
|
|
|
= ( ), г |
|
|
такой функции связано с анализом экономической ситуации в краткосрочном периоде (т.е. таком, когда не все факторы производства могут быть изменены). Для данного случая сохраняются как основные гипотезы, так и их ослабленные
46
аналоги. Соответствующие изменения в формулировании этих условий очевидны.
|
|
|
Задачи |
|
|
|
|
4.1. |
Постройте схематично в трехмерной |
декартовой |
|||
cистемекоординат |
график |
производной |
двухфакторной |
|||
производственной функции |
f(x), удовлетворяющей, кроме |
|||||
Какой |
|
( , 2) = ( 1, 0) |
= 0 |
|
|
|
основных гипотез 1) |
и 2) дополнительному условию: |
|
||||
|
экономический смысл условий (4.5)? |
|
(4.5) |
|||
|
|
|
||||
|
4.2. |
Оцените |
возможность использования |
следующих |
||
функций в качестве производственных, а именно проверьте
выполнение гипотез 1), 2) (в частности, неравенства (4.2) и |
||||||||||||||||||||||
2) |
|
( 1, 2) = |
3 1 2; |
4) ( 1, 2) |
= 1 |
2; |
; |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
3 |
2 |
|
|
|
ослабленных условий (4.3), |
(4.4): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
5) |
|
( 1, 2) = |
√ 1 2; |
3) |
( 1, 2) = 1 2 |
|
|
|
|
|||||||||||||
1) |
|
( 1, 2) = |
1 |
|
;8) |
|
|
|
|
3 |
|
= 1 |
+ 2 ; |
|
|
|||||||
7) |
+ 2 |
( 1, 2) |
|
|
. |
|||||||||||||||||
9) |
|
( 1, 2) = ln( 1 |
+ 2) ; 10)( 1, 2) |
= |
|
1 + 2; |
||||||||||||||||
4.3. |
( 1, 2) = ln ( 1 |
|
|
|
6) |
( 1, 2) = ( 1 |
+ 2) |
|
||||||||||||||
+ 2); |
|
|||||||||||||||||||||
4) |
|
= + ; |
2) |
= + |
+ |
2 |
; |
3) |
= + ; |
|
|
|||||||||||
1) |
|
|
|
|
функции2 |
|
|
|
|
|
|
|
: |
|
||||||||
|
|
Даны следующие2 |
одного переменного√ |
|
||||||||||||||||||
6) |
= + , |
0 < < 1; |
|
7)= − |
+ , > 0; |
|
||||||||||||||||
8) |
|
= ln(1 + ) + , |
> 0; |
|
|
= + 0, > 0; |
||||||||||||||||
Требуется: = + , |
> 0. |
5) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
а) исследовать данные функции в плане их возможного использования в качестве однофакторных производственных
функций, а именно указать области изменения параметров |
a, b, |
c, k и переменной х, для которых выполняются гипотезы |
1), |
2) или их ослабленные аналоги: дать графическую иллюстрацию;
47
б) найти средний (AP(x)) и предельный (MP(x)) продукты переменного фактора х для каждой из заданных функций: дать геометрическую интерпретацию этих величин;
в) построить графики кривых совокупного (TP),среднего и предельного продуктов для конкретных значений параметров и
переменной |
х из найденных областей (см. соответствующее |
|
указание); |
|
|
г) найти |
эластичности выпуска |
E(q) для указываемых |
функций; определить участки возрастания и убывания эластичности (при значениях параметров, принятых в предыдущем пункте).
4.4. Производственная функция f(x), описывающая совокупный продукт TP(x)(так что имеет место равенство f(x) = TP(x)), задана таблично. Заполните две последние колонки таблицы, вычислив соответствующие значения среднего и предельного продуктов. Представьте информацию, содержащуюся в ней, графически, т.е. постройте приближенно графики кривых совокупного (TP), среднего (AP) и предельного (MP) продуктов. Проанализируйте взаимосвязь этих кривых, укажите их характерные особенности (промежутки возрастания, убывания, выпуклости, вогнутости, точки максимума).
х |
ТР(х) |
АР(х) |
МР(х) |
0 |
0 |
|
|
1 |
10 |
|
|
2 |
30 |
|
|
3 |
60 |
|
|
4 |
80 |
|
|
5 |
95 |
|
|
6 |
108 |
|
|
7 |
112 |
|
|
8 |
112 |
|
|
9 |
108 |
|
|
10 |
100 |
|
|
|
48 |
|
|
Дайте экономическую интерпретацию результатов. |
|
||||||||||||||||||
|
|
4.5. |
По |
известной |
величине |
среднего продукта найти |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
а) |
( ) = 0,5 + ln(2 |
+ 3 −) |
1 |
; |
|
|
||||||||
совокупный и предельный продукты: |
(0,2) |
|
|
|
; |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
в) |
( ) = 3 + 51/4 − |
|
5 |
|
|
|||||||||
|
|
4.6. |
|
б) |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
. |
|
||||
|
|
Пусть ( ) = −− |
|
|
|
|
|
||||||||||||
0 1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
5 |
3 0,4 |
|
|
|||||
1 |
2 |
|
|
|
производственная2 |
|
|
|
функция |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
от |
||
|
|
устанавливает зависимость совокупного продукта = |
|||||||||||||||||
единицах, 2 – в человеко- |
2 |
|
и объема производственных |
||||||||||||||||
двух факторов: трудовых затрат |
|
|
|||||||||||||||||
фондов |
|
(обычно q и |
, 1 |
|
1измеряются в относительных |
||||||||||||||
|
|
|
|
. |
|
|
|
, 2, |
|
|
|
|
|
|
|
< 1, |
|||
= 1,2: 0 |
> 0 |
|
|
часах или среднегодовом количестве |
|||||||||||||||
работников)1. Величины |
|
|
|
|
|
- постоянные, 0 < |
|
||||||||||||
1. Определить среднюю производительность трудовых ресурсов (затрат). Как изменяется данный показатель с ростом трудовых затрат при неизменном объеме производственных фондов? Как влияет на среднюю производительность трудовых ресурсов увеличение только объема производственных фондов при постоянных затратах труда?
2. Найти предельную производительность трудовых ресурсов. Проанализировать зависимость изменения этого
показателя от каждого из факторов |
|
|
. |
3. Установить связь между 1 |
предельной и средней |
||
и 2 |
|
||
производительностью трудовых |
ресурсов рассматриваемой |
||
производственной функции. Проанализировать полученный результат.
4. Решить вопросы, аналогичные поставленным в пунктах а) и б) , в отношении второго фактора – объема производственных фондов.
5. Найти эластичности запуска продукции по затратам труда и по объему производственных фондов. Как связаны эти показатели с параметрами производственной функции?
49
Требуется |
= ∆1 |
2 |
4.7. Выпуск продукции предприятием характеризуется |
||
производственной функцие й |
1/3 |
2/3. |
приближенно определить абсолютный и относительный приросты выпуска продукции за год, если
объемы факторов производства |
|
|
и |
|
в начале года составляли |
|||||||
1000 и 8000 единиц и |
увеличились к концу года, |
|||||||||||
1 |
|
2 |
|
|
|
|
||||||
соответственно, на а) 5 % и 3 %, б) 3 % и 5 %, в) 4 % и 4%. |
||||||||||||
найти: = 1, 1) = 20 1 + 10 2 − 4 1 |
− 2 2 + 3 1 2 |
|||||||||||
4.8.Для функции двух переменных2 |
|
, |
2 |
|||||||||
1) область изменения переменных |
|
|
в которой данная |
|||||||||
функция |
может выступать |
в |
роли |
производственной |
||||||||
(выполняются гипотезы 1), 2)); |
1, 1 |
|
||||||||||
2) предельные производительности каждого ресурса; |
||||||||||||
3) значения |
факторов |
|
, |
|
при |
которых достигается |
||||||
|
|
|
|
продукции. |
|
|
|
|||||
максимальный выпуск1, 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
ресурсов |
|
1 |
и 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4.9. |
На производстве используется два вида ресурсов в |
|||||||||||
количествах |
|
|
единиц. Стоимость единицы каждого из |
|||||||||
|
составляет 1000 и 2000 |
|
руб. соответственно. Для |
|||||||||
приобретения ресурсов выделено |
10 |
млн. руб. Определить |
||||||||||
оптимальный расход ресурсов, обеспечивающий предприятию
достижение |
максимальной |
|
прибыли, если известно, что |
||||
|
|
П = 2 1 |
+ 10 2 |
− 2 |
|
||
суммарная прибыль предприятия следующим образом зависит |
|||||||
от расхода ресурсов: |
|
|
|
|
2. |
|
|
4.2. Изокванты. Замещаемость ресурсов |
|
||||||
Изоквантой |
называется |
|
множество |
уровня |
|||
производственной функции |
|
|
|
т. е. совокупность всех |
|||
комбинаций |
затрат, |
обеспечивающих один и тот же объем |
|||||
|
= ( ), |
|
|
||||
выпуска продукции. Таким образом, уравнение изокванты имеет |
||
вид: |
( ) = 0, |
(4.6) |
|
|
|
50